Lehekülje Võimsus (hulgateooria) lähteteksti vaatamine

'''Võimsus''' ehk '''kardinaalsus''' on [[hulgateooria]]s [[hulk|hulga]] [[element (matemaatika)|element]]ide arvu mõistet üldistav mõiste, mis on rakendatav ka [[lõpmatu hulk|lõpmatute hulkade]] puhul. 

[[Lõplik hulk|Lõplike hulkade]] puhul samastatakse hulga võimsust tema elementide arvuga, mis on [[naturaalarv]]. Lõpmatute hulkade võimsuse määratlemiseks on tarvis pisut eeltööd. Järgmised definitsioonid ja järeldused kehtivad ka lõplike hulkade korral. 

==Võrdvõimsus ja võimsus==

Kõigepealt defineeritakse kahe hulga ''A'' ja ''B'' [[võrdvõimsus]]e ehk ekvivalentsuse mõiste:

:hulka ''A'' nimetatakse hulgaga ''B'' '''võrdvõimsaks''' ehk ekvivalentseks, kui leidub [[bijektsioon]] <br> ''f'': ''A'' <tt>-></tt> ''B''. Sel juhul kirjutatakse: |''A''| = |''B''| või ''A''~''B''.

Kui hulk ''A'' on hulgaga ''B'' võrdvõimas, siis ka [[funktsioon (matemaatika)|funktsioon]]i ''f'' [[pöördfunktsioon]] on bijektsioon, seega on ka hulk ''B'' hulgaga ''A'' võrdvõimas. Lõplikud hulgad on omavahel võrdvõimsad [[parajasti siis, kui]] neil on ühepalju elemente.  

Hulka, mis on võrdvõimas [[naturaalarvude hulk|naturaalarvude hulgaga]] <math>\mathbb{N}</math> (see on lõpmatu hulk), nimetatakse [[loenduv hulk|loenduvaks hulgaks]]. Hulka, mis on kas loenduv või lõplik, nimetatakse [[ülimalt loenduv hulk|ülimalt loenduvaks hulgaks]].  

==Kardinaalarvud==
{{Vaata|Kardinaalarv}}

On lihtne näidata, et võrdvõimsus on [[ekvivalentsusseos]]. Seetõttu saab anda järgmise [[definitsioon]]i: 

:Hulkade [[ekvivalentsusklass]]e võrdvõimsus[[seos (matemaatika)|seos]]e suhtes nimetatakse [[kardinaalarv]]udeks. 

[[Alef]] (<math>\aleph</math>) on [[heebrea tähestik]]u esimene [[Täht (kiri)|täht]]. See varustatakse [[indeks]]iga ja saadakse [[lõpmatu hulk|lõpmatute hulkade]] kardinaalarvude tähiseid. 

Kui hulk ''A'' on ekvivalentsusklassi (kardinaalarvu) '''<math>\aleph</math><sub>i</sub>''' [[element (matemaatika)|element]], siis öeldakse, et hulga ''A'' võimsus on '''<math>\aleph</math><sub>i</sub>'''. Seda märgitakse üles nii: 
:<math>|A| = \aleph</math><sub>i</sub>.

''n'' elemendist koosneva [[lõplik hulk|lõpliku hulga]] võimsus samastatakse [[naturaalarv]]uga ''n''. 

Võib küsida, kas kõik lõpmatud hulgad on võrdvõimsad. Juhul kui see oleks nii, oleksid kõik lõpmatud hulgad loenduvad. Selgub aga, et on lõpmatuid hulki, mis ei ole omavahel võrdvõimsad. Näiteks ei ole [[naturaalarvude hulk]] võrdvõimas [[reaalarvude hulk|reaalarvude hulgaga]]. Et reaalarvude hulk on [[mitteloenduv hulk|mitteloenduv]], seda saab tõestada [[Cantori diagonaaltõestus]]e abil. 

Allpool näitame, et erinevaid kardinaalarve on lõpmata palju. 

[[Täieliku järjestuse teoreem|Täieliku järjestuse teoreemi]] kohaselt saab iga kardinaalarvu samastada vähima temaga võrdvõimsa ordinaalarvuga, sest iga hulk on võrdvõimas mõne [[ordinaalarv]]uga.

==Võimsuste võrdlus==

Selleks et omavahel mittevõrdvõimsaid hulki siiski võrrelda saaks, määratakse kindlaks, millal hulk ''B'' on võimsam kui hulk ''A'':

:Kui on olemas [[bijektsioon]] ''f'' hulgalt ''A'' hulga ''B'' ''[[alamhulk|alamhulgale]]'' ''B'', siis öeldakse, et hulk ''A'' on hulgaga ''B'' võrdvõimas või sellest vähem võimas ehk hulk ''A'' ei ole võimsam kui hulk ''B'' ehk hulga ''A'' võimsus (|''A''|) ei ole suurem kui hulga ''B'' võimsus (|''B''|). Seda märgitakse üles nii: |''A''| <= |''B''|.

Hulk ''A'' ei ole võimsam kui hulk ''B'' [[parajasti siis, kui]] leidub [[injektsioon]] hulgast ''A'' hulka ''B''. Hulk ''A'' ei ole võimsam kui hulk ''B'' parajasti siis, kui leidub [[sürjektsioon]] hulgast ''B'' hulgale ''A''.    

Hulgad ''A'' ja ''B'' on võrdvõimsad parajasti siis, kui ''A'' ei ole võimsam kui ''B'' ja ''B'' ei ole võimsam kui ''A''. 

:Kui on olemas bijektsioon ''f'' hulgalt ''A'' hulga ''B'' alamhulgale, kuid ei leidu bijektsiooni hulgalt ''A'' hulgale ''B'', siis öeldakse, et ''A'' on vähem võimas kui ''B'' ja ''B'' on võimsam kui ''A''. Seda märgitakse üles nii: |''A''| < |''B''|.

On ilmne, et |''A''| < |''B''| [[parajasti siis, kui]] |''A''| <= |''B''|, kuid mitte |''A''| = |''B''|.

Et [[naturaalarvude hulk]] moodustab [[reaalarvude hulk|reaalarvude hulga]] [[alamhulk|alamhulga]], siis: 
: <math> \mathbb{R}</math> on võimsam kui <math> \mathbb{N}</math>, ''c'' := |<math> \mathbb{R}</math>| > |<math> \mathbb{N}</math>|.<br>
Saab näidata, et <math> \mathbb{R}</math> on võrdvõimas hulga <math> \mathbb{N}</math> [[potentshulk|potentshulgaga]].

Saab näidata, et naturaalarvude hulgast vähem võimas hulk on lõplik. Samuti saab näidata, et igal lõpmatul hulgal on alamhulk, mis on võrdvõimas hulgaga <math> \mathbb{N}</math>.

Seega on hulga <math> \mathbb{N}</math> võimsus vähim lõpmatu kardinaalarv. Selle tähis on '''aleph<sub>0</sub>''':
:<math>\aleph_0 := |\mathbb{N}|</math>.

[[Kontiinuumhüpotees]] (CH) ütleb, et ei leidu hulka, mis oleks võimsam kui <math> \mathbb{N}</math>, kuid vähem võimas kui <math> \mathbb{R}</math>. Tegemist ei ole [[teoreem]]iga. Tavaliste hulgateooria aksiomaatikate (näiteks [[Zermelo-Fraenkeli aksiomaatika]] koos [[valikuaksioom]]iga) puhul ei saa aksioomidest tuletada ei kontiinuumhüpoteesi ega selle eitust.   

Eeldusel, et kontiinuumhüpotees on tõene, defineeritakse <math>\aleph_1</math> hulga <math> \mathbb{R}</math> võimsusena. See kardinaalarv on võimsuselt järgmine <math>\aleph_0</math> järel.

Sel juhul kehtib:
:<math>c = 2^{\aleph_0} = \aleph_1</math>.

== Vaata ka ==

* [[Ordinaalarv]]

[[Kategooria:Hulgateooria]]