Lähdekoodi sivulle Pallogeometria

{{Lähteetön|Suurelta osin lähteetön.}}
{{Geometria}}
[[Tiedosto:Triangles (spherical geometry).jpg|thumb|right|300px|Pallokolmion kulmien summa ei ole 180°. Pallopinta on kaareva pinta, mutta lokaalisti euklidisen tasogeometrian säännöt ovat siinä likipitäen voimassa. Maapallon pinnalla pienen kolmion kulmien summa on vain vähän yli 180 astetta.]]
[[Tiedosto:Spherical_triangle_3d.png|thumb|right|300px|Pallopinta ja sille piirretty pallokolmio.]]
'''Pallogeometria''' on kaksiulotteisen [[pallo (geometria)|pallopinnan]] [[geometria]]. Tässä yhteydessä ''pallolla'' tai ''pallopinnalla'' tarkoitetaan nimenomaan kaksiulotteista pintaa, joskin matematiikassa sana ''pallo'' voi muissa yhteyksissä tarkoittaa myös sen rajoittamaa kappaletta (kuulaa) tai myös sekä pallopinnan että kuulan useampiulotteista vastinetta.

Pallogeometriaa on kauan tutkittu [[navigointi]]in liittyvien ja [[tähtitiede|tähtitieteellisten]] sovellustensa vuoksi. Euklidisen [[tasogeometria]]n kanssa sillä on monia yhtäläisyyksiä, mutta myös merkittäviä eroja. Pallogeometria käsitetään usein osaksi [[avaruusgeometria]]a eli kolmiulotteista [[euklidinen geometria|euklidista geometria]], jolloin pallopintaa tarkastellaan kolmiulotteisen avaruuden osajoukkona. Sitä voidaan kuitenkin tarkastella myös sisäisin, ''intrisisin'' menetelmin, jolloin käsitellään vain pintaa itseään viittamatta lainkaan laajempaan avaruuteen, jossa pinta sijaitsee.

Koska pallopinta eroaa geometrisesti tasosta, (intrinsisella) pallogeometrialla on monia [[epäeuklidinen geometria|epäeuklidisen geometrian]] piirteitä, ja sellaisena sitä toisinaan pidetäänkin. Pallogeometria ei kuitenkaan ole käsitteen täydessä merkityksessä epäeuklidista geometriaa, sillä se ei riitä ratkaisemaan, onko [[paralleeliaksiooma]] looginen seuraus muista Eukleideen tasogeometrian aksioomista. Tähän kysymykseen toi vastauksen vasta [[hyperbolinen geometria]].

==Yleiskatsaus ==

[[Tasogeometria]]n peruskäsitteet ovat [[piste]] ja [[suora]]. Pallogeometriassa vastaavat peruskäsitteet ovat piste ja [[isoympyrä]]. Kaksi pallopinnan isoympyrää leikkaa toisensa kahdessa pisteessä, jotka ovat toistensa [[antipodi|antipodeja]], ja tässä suhteessa pallogeometria poikkeaa (yksinkertaisesta) [[elliptinen geometria|elliptisestä geometriata]].

Kun pallopinta käsitetään kolmiulotteisen avaruuden osajoukoksi, isoympyrät ovat pallopinnan ja sen keskipisteen kautta kulkevien tasojen leikkauksia. Intrinsisesti tarkasteltuna isoympyrä on [[geodeettinen viiva]], lyhin tie kahden pisteen välillä edellyttäen, että ne ovat tarpeeksi lähellä toisiinsa. Intrinsisessä aksiomaattisessa lähestymistavassa, joka on analoginen Eukleideen tasogeometriassa käytetylle, isoympyrä on pisteen tavoin peruskäsite, jota ei määritellä, mutta sen ja pisteen tärkeimmät ominaisuudet ja yhteydet ilmaistaan [[aksiooma|aksioomella]], joista niiden muut ominaisuudet seuraavat.

Isoymyröillä on pallogeometriassa monessa suhteessa vastaava looginen merkitys kuin suorilla euklidisessa geometriassa, esimerkiksi [[pallokolmio]]iden sivuina. Tämä ei ole pelkkä analogia: pallo- ja tasogeometriaa ja useita muitakin voidaan käsitellä erikoistapauksina samasta yleisemmästä, etäisyyksien mittaamiseen perustuvista geometrisista struktuureista, joissa "suorat" määritellään lyhimpinä polkuina (geodeettisina viivoina). Monet pisteitä ja "suoria" koskevat lauseet pätevät yhtä lailla kaikissa tällaisissa geometrioissa, edellyttäen että ne on määritelty tähän tapaan, ja teoria voidaan suoraan yleistää korkeampiin ulottuvuuksiin. Koska pallogeometria kuitenkin on sekä sovellustensa vuoksi että ja pedagogisista syistä sidoksissa avaruusgeometriaan ja koska näissä yleistyksissä eivät kaikki pallopintaa koskevat tulokset päde, pallogeometriassa ei yleensä käytetä  termiä "suora" mistään pinnalla itsellään olevasta viivasta. Historiallisestikin se on kehittynyt osana avaruusgeometriaa, ja siinä käytetään apuna myös ympäröivän kolmiulotteisen (euklidisen) avaruuden pisteitä, suoria ja tasoja.

Pallogeometriassa käsiteltävät [[kulma]]t ovat isoympyröiden välisiä kulmia. Kun pallopintaa tarkastellaan kolmiulotteisessa avaruudessa sijaitsevana, tämä kulma on yhtä suuri kuin niiden tasojen välisenä kulma, joiden leikkauksia pallopinnan kanssa nämä isoympyrät ovat.<ref>{{verkkoviite | Osoite = https://mathworld.wolfram.com/SphericalGeometry.html | Nimeke = Spherical Geometry | Sivusto = Wolfram MathWorld | Julkaisija = Eric W. Weisstein | Viitattu = 8.12.2021}}</ref> Isoympyröiden ja kulmien muodostamia [[pallokolmio]]ita käsittelee [[pallotrigonometria]], joka eroaa tavallisesta [[trigonometria]]sta monin tavoin: esimerkiksi pallokolmion kulmien summa on aina suurempi kuin 180 astetta.

==Yhteys muihin samankaltaisiin geometrioihin ==
Pallogeometria on läheistä sukua [[elliptinen geometria|elliptiselle geometrialle]].

Eräs huomattava pallogeometriaa muistuttava geometria on [[projektiivinen taso|projektiivisen tason]] geometria. Se saadaan samastamalla keskenään toistensa [[antipodi]]ssa olevat pisteet, toisin sanoen ne pallopinnan pisteet, jotka ovat yhtä kaukana pallon keskipisteestä sen vastakkaisilla puolilla. Lokaalisesti projektiivisella tasolla on kaikki pallopinnan ominaisuudet, mutta sen globaalit ominaisuudet ovat erilaiset. Erityisesti projektiivinen taso on [[orientoituvuus|orientoitumaton]], yksipuolinen, ja toisin kuin pallopintaa, sellaista ei voi muodostaa kolmiulotteisessa avaruudessa ilman, että se leikkaa itsensä.

Pallogemetrian käsitteitä voidaan soveltaa myös [[pyörähdysellipsoidi]]in, joskin eräitä kaavoja on hieman muutettava.

Pallogeometria voidaan elliptisen geometrian tavoin yleistää myös useampaan ulottuvuuteen.

==Historia==

=== Antiikin Kreikka ===

Varhaisin nykyaikaan säilynyt pallogeometriaa käsittelevä teos on [[Autolykos Pitanelainen|Autolykos Pitanelaisen]] 300-luvulla eKr. kirjoittama "Pyörivästä pallosta" {{k-el|Περὶ κινουμένης σφαίρας}}, ''Peri kinoumenes sphairas'').<ref>{{kirjaviite | Tekijä = B. A. Rosenfeld | Nimeke = A history of non-Euclidean geometry : evolution of the concept of a geometric space | Sivu = 2 | Julkaisija = Springer-Verlag | Julkaisupaikka = New York | Vuosi = 1988 |Isbn= 0-387-96458-4 |Kieli= {{en}}}}</ref>

Pallotrigonometriaa tutkivat muutamat antiikin [[Kreikkalainen matematiikka|kreikkalaiset matemaatikot]] ja tähtitieteilijät kuten [[Theodosius Bithynialainen]], joka kirjoitti pallogeometriaa käsittelevän teoksen ''Sphaerics''<ref>{{verkkoviite | Osoite = http://www.encyclopedia.com/doc/1G2-2830904281.html | Nimeke = Theodosius of Bithynia – Dictionary definition of Theodosius of Bithynia | Julkaisija = HighBeam Research | Viitattu = 8.12.2021}}</ref> ja [[Menelaos Aleksandrialainen]], joka kirjoitti pallotrigonometriaa käsittelevän kirjan ''Sphaerica'' ja tunnetaan myös [[Menelaoksen lause]]en keksijänä.<ref>{{verkkoviite | Osoite = https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Menelaus/ | Nimeke = Menelaus of Alexandria | Kirjoittaja = J J O'Connor,  E F Robertson | Sivusto = MacTutor | Viitattu = 8.12.2021}}</ref><ref>{{verkkoviite | Osoite = http://www.encyclopedia.com/topic/Menelaus_of_Alexandria.aspx#1 | Nimeke = Menelaus of Alexandria Facts, information, pictures | Julkaisija = HighBeam Research | Viitattu = 8.12.2021}}</ref>

===Islamilainen maailma ===
Islamilaisen matemaatikko [[Al-Jayyani]]n kirjoittamaa "Pallon tuntemattomien kaarten kirjaa" pidetään ensimmäisenä pallotrigonometriaa systemaattisesti käsittelevänä teoksena. Kirjassa on suorakulmaisia kolmiota koskevia kaavoja, yleinen [[sinilause]] sekä pallokolmion ratkaisu napakolmion avulla.<ref>{{verkkoviite | Osoite = http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Al-Jayyani.html | Nimeke = Al-Jayyani | Julkaisija = School of Mathematical and Computational Sciences University of St Andrews | Viitattu = 8.12.2021}}</ref>

[[Regiomontanus|Regiomontanuksen]] noin vuonna 1463 kirjoittama ''Kolmioista'' on ensimmäinen eurooppalainen puhtaasti trigonometrinen teos. Noin sata vuotta myöhemmin [[Gerolamo Cardano]] kuitenkin totesi, että suurin osa sen pallotrigonometriaa käsittelevästä aineistosta oli lainattu 1100-luvulla eläneen [[andalusia]]laisen [[Jabir ibn Aflah]]in teoksista.<ref>{{verkkoviite | Osoite =https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Jabir_ibn_Aflah/ | Nimeke = al-Ishbili Abu Muhammad Jabir ibn Aflah | Julkaisija = Victor J. Katz-Princeton University Press | Viitattu = 8.12.2021}}</ref>

===Eulerin tutkielmat===

[[Leonhard Euler]] julkaisi useita merkittäviä pallogeometriaa käsitteleviä tutkielmia:
* {{kirjaviite | Tekijä = L. Euler | Luku = Principes de la trigonométrie sphérique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits | Nimeke = Opera Omnia, Series 1, vol XXVII | Sivut = 277–308 | Kieli = {{fr}} | Selite = alkuperäisjulkaisu: Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1753), 1755, sivut 233–257}}
* {{kirjaviite | Tekijä = L. Euler | Luku = Eléments de la trigonométrie sphéroïdique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits | Nimeke = Opera Omnia, Series 1, vol XXVII | Sivut = 309–338 | Kieli = {{fr}} | Selite = alkuperäisjulkaisu: Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1754), 1755, sivut 258–293}}
* {{kirjaviite | Tekijä = L. Euler | Luku = De curva rectificabili in superficie sphaerica | Nimeke = Opera Omnia, Series 1, vol XXVIII | Sivut = 142–160 | Kieli = {{la}} | Selite = alkuperäisjulkaisu: Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 15, 1771, sivut 195–216}}
* {{kirjaviite | Tekijä = L. Euler | Luku =  De mensura angulorum solidorum | Nimeke = Opera Omnia, Series 1, vol. XXVI | Sivut = 204–223 | Kieli = {{la}} | Selite = alkuperäisjulkaisu: Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 2, 1781, sivut 31–54}}
* {{kirjaviite | Tekijä = L. Euler | Luku =  Trigonometria sphaerica universa, ex primis principiis breviter et dilucide derivata | Nimeke = Opera Omnia, Series 1, vol. XXVI | Sivut = 224–236 | Kieli = {{la}} | Selite = alkuperäisjulkaisu = Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 3, 1782, sivut 72–86}} 
* {{kirjaviite | Tekijä = L. Euler | Luku =  Problematis cuiusdam Pappi Alexandrini constructio | Nimeke = Opera Omnia, Series 1, vol. XXVI | Sivut = 237–242 | Kieli = {{la}} | Selite = alkuperäisjulkaisu: Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 4, 1783, sivut 91–96}}
* {{kirjaviite | Tekijä = L. Euler | Luku =  Geometrica et sphaerica quaedam | Nimeke = Opera Omnia, Series 1, vol. XXVI | Sivut = 344–358 | Kieli = {{la}} | Selite = alkuperäisjulkaisu: Mémoires de l'Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg 5, 1815, sivut 96–114}}
* {{kirjaviite | Tekijä = L. Euler | Luku =  Variae speculationes super area triangulorum sphaericorum | Nimeke = Opera Omnia, Series 1, vol. XXIX | Sivut = 253–266 | Kieli = {{la}} | Selite = alkuperäisjulkaisu: Nova Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 10, 1797, sivut 47–62}}

==Ominaisuuksia==
Pallogeometrialla on seuraavat ominaisuudet:<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Bruce E. Merserve | Nimeke = Fundamental Concepts of Geometry | Sivut = 281–282 | Julkaisija = Dover | Vuosi = 1983 [1959] |Isbn= 0-486-63415-9}}</ref>
* Mitkä tahansa kaksi isoympyrää leikkaavat toisensa kahdessa vastakkaisessa pisteessä, joita sanotaan toistensa ''antipodipisteiksi'' eli ''antipodaalisiksi pisteiksi''.
* Kahden pisteen kautta, jotka eivät ole toistensa antipodipisteitä, kulkee aina yksi ja vain yksi isoympyrä.
* On olemassa luonnollinen pituusyksikkö (joka perustuu kierrokseen), luonnollinen kulmayksikkö (joka perustuu isoympyrän kehään) ja luonnollinen pinta-alan yksikkö (joka perustuu pallon pinta-alaan).
* Jokaiseen isoympyrään liittyy kaksi toistensa antipodissa olevaa pistettä, joita sanotaan isoympyrän ''navoiksi'' ja jotka ovat kaikkien sen kohtisuorasti leikkaavien isoympyröiden yhteiset leikkauspisteet. Tämä osoittaa, että isoympyrä toteuttaa myös pallon pinnalla ympyrän määritelmän: se on niiden pisteiden ura, jotka ovat annetulla etäisyydellä tietystä keskipisteestä, isoympyrän navasta.
* Jokaista pallonpinnan pistettä vastaa yksi yksikäsitteisesti määritelty isoympyrä, jota sanotaan pisteen ''polaariseksi isoympyräksi'', nimittäin se isoympyrä, joka saadaan pallopinnan ja sen tason leikkauksena, joka kulkee pallon keskipisteen kautta ja on kohtisuorassa annetusta pisteestä pallon läpi sen antipodipisteeseen johtavaan janaan nähden.

Pisteet, jotka eivät ole toistensa antipodeja, voidaan yhdistää toisiinsa kahdella isoympyrän kaarella, jotka yhdessä muodostavat isoympyrän. Näin ollen kolme pistettä, jotka eivät ole samalla isoympyrällä, eivät yksikäsitteisesti määrittele kolmiota. Jos kuitenkin tarkastellaan vain kolmioita, joiden sivut ovat isoympyröiden ''pienempiä'' kaaria, toisin sanoen kaaria, joiden pituus on vähemmän kuin puolet isoympyrän kehästä, niillä voidaan todeta olevan seuraavat ominaisuudet: 
* Kolmion kulmien summa on suurempi kuin 180° ja pienempi kuin 540°.
* Kolmion pinta-ala on suoraan verrannollinen siihen erotukseen, minkä verran sen kulmien summa on suurempi kuin 180°.
* Kaksi kolmiota, joiden kulmien summa on sama, ovat pinta-alaltaan yhtä suuri.
* Kaikkien kolmioiden pinta-ala on pienempi kuin eräs yläraja.
* Kahden isoympyrän suhteen suoritettujen peilausten yhdistetty kuvaus voidaan käsittää myös [[rotaatio (geometria)|kierroksi]] niiden jommankumman leikkauspisteen ympäri.
* Kaksi kolmiota on [[yhtenevyys|yhteneviä]], jos ja vain jos ne toinen niistä voidaan kuvata toiselle äärellisellä määrällä tällaisia peilauksia.
* Kaksi kolmiota, joilla on yhtä suuret kulmat, ovat yhteneviä, toisin sanoen [[yhdenmuotoisuus|yhdenmuotoiset]] kolmiot ovat aina yhteneviä.

==Pallogeometria ja Eukleideen postulaatit==

Mikäli sanaa "suora" käytetään tarkoittamaan pallon isoympyrää ja sanaa "jana" isoympyrän kaaresta, pallogeometria toteuttaa kaksi [[Eukleides|Eukleideen]] viidestä [[postulaatti|postulaatista]], nimittäin toisen ("jana voidaan jatkaa jatkuvasti kokonaiseksi suoraksi") ja neljännen ("kaikki suorat kulmat ovat yhtä suuria"). Sen sijaan kolme muuta postulaattia eivät päde. Vastoin ensimmäistä postulaattia kahden pisteen välillä ei aina ole yksikäsitteistä lyhintä reittiä ([[antipodi]]pisteet kuten pohjois- ja etelänapa ovat vastaesimerkkejä). Vastoin kolmatta postulaattia ei pallopinnalle voida ympyrää, jonka säde on tiettyä rajaa suurempi. Ja vastoin viidettä eli [[paralleeliaksiooma]]a ei "suoran" ulkopuolella olevan pisteen kautta kulje yhtään sellaista "suoraa", joka ei leikkaisi edellistä jossakin pisteessä.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Timothy Gowers | Nimeke = Mathematics: A Very Short Introduction | Sivut = 94, 98 | Julkaisija = Oxford University Press | Vuosi = 2002}}</ref>

Paralleeliaksiooma on yhtäpitävä muun muassa sen lauseen kanssa, että on olemassa kolmio, jonka kulmien summa on 180°. Koska pallogeometriassa paralleeliaksiooma ei ole voimassa, ei pallopinnalla ole tämän ehdon toteuttavaa kolmiota. Sen sijaan pallokolmion kulmien summa on {{nowrap|180°(1 + 4''f'')}}, missä ''f'' on kolmion sisään jäävän alueen pinta-alan suhde koko pallon pinta-alaan. Kaikilla ''f'':n positiivisilla arvoilla tämä on suurempi kuin 180°.

== Käytännön sovelluksia ==

Pallogeometrialle on paljon käytännön sovelluksia, sillä esimerkiksi [[Maa]]pallolla liikutaan pallopinnalla, ja juuri [[navigointi|merenkulun tarpeet]] ovatkin hyötyneet pallogeometrian tutkimuksesta. 

{{käännös|:en:Spherical geometry}}

== Katso myös ==
* [[Pallotähtitiede]]
* [[Pallotrigonometria]]
* [[Elliptinen geometria]]

== Lähteet ==
* {{kirjaviite | Tekijä = Athanase Papadopoulos | Nimeke = Leonhard Euler : Mathématicien, physicien et théoricien de la musique | Luku = Euler, la géométrie sphérique et le calcul des variations | Julkaisija = CNRS Editions | Julkaisupaikka = Pariisi | Vuosi = 2015 |Isbn= 978-2-271-08331-9}}
* {{kirjaviite | Tekijä = Glen van Brummelen | Nimeke = Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry | Julkaisija = Princeton University Press | Vuosi = 2013 |Isbn= 978-069-1-14892-2 | www = https://books.google.com/books?id=0BCCz8Sx5wkC}}
* {{kirjaviite | Tekijä = Roshdi Rashed, Athanase Papadopoulos | Nimeke = Menelaus' Spherics: Early Translation and al-Mahani'/alHarawi's version. Critical edition of Menelaus' Spherics from the Arabic manuscripts, with historical and mathematical commentaries'' | Julkaisija = De Gruyter | Selite = Kirjasarja: Scientia Graeco-Arabica 21 | Vuosi = 2017 |Isbn= 978-3-11-057142-4}}

=== Viitteet ===
{{viitteet}}

== Aiheesta muualla ==
* {{verkkoviite | Osoite = https://sourceforge.net/projects/sphaerica/ | Nimeke = Sphaerica - geometry software for constructing on the sphere}}

[[Luokka:Geometria]]
[[Luokka:Pallotähtitiede]]