Voir la source de Cuboctaèdre

{{Infobox Polyèdre
| nom          = Cuboctaèdre
| image        = cuboctahedron.gif
| nb_faces     = 14
| faces        = (8 [[triangle]]s, 6 [[carré]]s)
| nb_arêtes    = 24
| nb_sommets   = 12 
| degré        = 4
| type         = [[Solide d'Archimède]] [[polyèdre uniforme|uniforme]]
| uniforme     = 7
| Coxeter      = 19
| Wenninger    = 11
| Schläfli     = t<sub>1</sub>{4,3} ou t<sub>0,2</sub>{3,3}
| Wythoff      = 2 {{!}} 3 4 ou 3 3 {{!}} 2
| diagramme    = {{DCD|node|4|node_1|3|node}} ou {{DCD|node_1|3|node|3|node_1}}
| propriétés   = [[Polyèdre semi-régulier|Semi-régulier]] [[Polyèdre convexe|convexe]] [[polyèdre quasi-régulier|quasi-régulier]]
| volume       = <math>{5\over 3}\sqrt{2} a^3</math>
| aire         = <math>(6+2\sqrt{3})a^2</math>
| angle_dièdre = ≈ 125,26°
| symétrie     =[[Symétrie octaédrique|O<sub>h</sub>]]
| dual         = [[Dodécaèdre rhombique]]
}}

[[Fichier:Cuboctahedron as truncated cube.png|thumb|Cuboctaèdre vu comme cube rectifié.]]
[[Fichier:cuboctahedron flat.svg|thumb|[[Patron (géométrie)|Patron]] de cuboctaèdre.]]

Un '''cuboctaèdre''' est un [[polyèdre]] à 14 faces régulières, dont huit sont des triangles équilatéraux et six sont des carrés. Il comporte :
* 12 sommets identiques, chacun joignant deux triangles et deux carrés opposés deux à deux ;
* 24 arêtes identiques, chacune commune à un triangle et à un carré.
Il s'agit donc d'un polyèdre quasi-régulier, c’est-à-dire un [[solide d'Archimède]] (uniformité des sommets) avec en plus, une uniformité des arêtes. On obtient ce polyèdre en tronquant un [[Solide de Platon|solide&nbsp;de&nbsp;Platon]] de douze arêtes (cube ou octaèdre régulier) à chaque sommet, par une section qui passe par les milieux de toutes les arêtes issues du sommet tronqué. Ses vingt-quatre arêtes égales sont les côtés de quatre [[Polygone régulier|hexagones]] réguliers [[Concentricité|concentriques]] : quatre sections équatoriales du solide tronqué ou du solide initial (cube ou octaèdre régulier).

Il a été baptisé par [[Johannes Kepler|Kepler]].

Les côtés des six hexagones réguliers concentriques sont égaux aux rayons de leurs [[Cercle circonscrit#Hexagone régulier|cercles&nbsp;circonscrits]], six grands cercles de la [[sphère circonscrite]] au&nbsp;cuboctaèdre. La distance d'un sommet au centre du cuboctaèdre est donc égale à la longueur d'un côté.

Son [[polyèdre dual]] est le [[dodécaèdre rhombique]].

Ce polyèdre est utilisé par le Rainbow Cube, une [[Rubik's Cube#Variantes|variante du Rubik's Cube]].

== Autres noms ==
* ''Heléfantaèdre'' ([[Buckminster Fuller]])
** Fuller appliqua le nom « {{Page h'|Dymaxion}} » et ''Vector Equilibrium''<ref>{{YouTube|id=9sM44p385Ws|titre=Vector Equilibrium: R. Buckminster Fuller|langue=en}}</ref> pour cette forme.
* ''[[Cube]] {{Lien|trad=Rectification (geometry)|Rectification (géométrie)|texte=rectifié}}'' ou ''[[octaèdre]] rectifié'' - ([[Norman Johnson]])
** Et ''[[tétraèdre]] biseauté'' par une symétrie plus basse.

== Aire et volume ==

L'aire <math>A</math> et le volume <math>V</math> d'un cuboctaèdre de côté <math>a</math> sont donnés par
:<math>A=(6+2\sqrt{3})a^2</math>
:<math>V=\begin{matrix}{5\over3}\end{matrix}\sqrt{2}a^3</math>

== Relations géométriques ==

Un cuboctaèdre peut être obtenu en prenant une [[section plane]] appropriée d'un polytope en croix à quatre dimensions.

Un cuboctaèdre possède une symétrie octaédrique. Sa première [[stellation]] est le [[Composé polyédrique|composé]] d'un [[cube]] et de son dual, l'[[octaèdre]], avec les sommets du cuboctaèdre localisés au milieu des arêtes de l'autre.

Le cuboctaèdre est un cube rectifié et aussi un octaèdre rectifié.

C'est aussi un tétraèdre biseauté. Avec cette construction, on lui donne le symbole de Wythoff : '''3&nbsp;3&nbsp;|&nbsp;2'''.

Un biseautage de biais d'un tétraèdre produit un solide avec les faces parallèles à celles du cuboctaèdre, c’est-à-dire huit triangles de deux tailles et six rectangles. Alors que ses arêtes sont inégales, ce solide reste à ''sommets uniformes'' : le solide possède le [[groupe symétrique]] complet et ses sommets sont équivalents avec ce groupe.

Les arêtes d'un cuboctaèdre forment quatre [[hexagone]]s réguliers. Si le cuboctaèdre est coupé dans le plan d'un de ces hexagones, chaque moitié est une [[coupole hexagonale]] (ou coupole triangulaire), un des [[solide de Johnson|solides de Johnson]] ; le cuboctaèdre lui-même peut ainsi être appelé une [[bicoupole|gyrobicoupole]] hexagonale (ou gyrobicoupole triangulaire), le plus simple d'une série (autre que le [[gyrobiprisme triangulaire]] ou « gyrobicoupole digonale »). Si les moitiés sont replacées ensemble avec une rotation, alors ces triangles rencontrent les triangles et les carrés rencontrent les carrés, le résultat est un autre solide de Johnson, l'[[orthobicoupole hexagonale]].
[[Fichier:12-spheres-autour-sphere-CFC-cuboctaedre.gif|vignette|Les centres des douze voisines d'une sphère centrale dans un réseau cubique à faces centrées sont les sommets d'un cuboctaèdre.]]
Les deux bicoupoles hexagonales sont importantes dans l'[[empilement compact]]. La distance à partir du centre du solide vers ses sommets est égale à sa longueur d'arête. Chaque [[sphère]] centrale peut avoir au plus douze voisines, et dans un réseau cubique à faces centrées, celles-ci prennent les positions des sommets d'un cuboctaèdre. Dans un réseau d'empilement compact hexagonal, ils correspondent aux coins des orthobicoupoles hexagonales. Dans les deux cas, la sphère centrale prend la position du centre du solide.

Les cuboctaèdres apparaissent comme des cellules dans trois des {{Lien|trad=Convex uniform honeycomb|Nid d'abeille uniforme convexe|texte=nids d’abeille uniformes convexes}} et dans neuf des [[polychore uniforme|polychores uniformes]].

Le volume du cuboctaèdre est 5/6 du cube circonscrit et 5/8 de l'octaèdre circonscrit ; c'est 5{{racine|2}}/3 fois le cube de la longueur d'une arête.

C'est {{refsou|date=février 2011|le seul}} polyèdre semi-régulier dont la distance du centre de gravité aux sommets est égale aux arêtes.

== Coordonnées cartésiennes ==
Les [[coordonnée cartésienne|coordonnées cartésiennes]] des sommets d'un cuboctaèdre (de longueur d'arête {{racine|2}}) centré à l'origine sont
: (±1,±1,0)
: (±1,0,±1)
: (0,±1,±1)

== Dans la culture ==

Dans la série [[Billions (série télévisée)|Billions]], le personnage de Chuck Rhoades ([[Paul Giamatti]]) dispose depuis la saison 4 d'un nouveau bureau, lequel est orné d'un cuboctaèdre, fait semble-t-il d'une variété de [[calcédoine]]<ref>{{static01.nyt.com/images/2019/04/21/arts/television/21billions-recap/21billions-recap-jumbo-v2.jpg?quality=75&auto=webp|}}</ref>.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Cuboctahedron|96414403|type=note}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Category:Cuboctahedron}}

{{Palette|Solides géométriques}}

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Polyèdre quasi-régulier]]
[[Catégorie:Solide d'Archimède]]