Voir la source de Nombre hexagonal centré

{{Confusion|Nombre hexagonal}}

En [[mathématiques]], un '''nombre hexagonal centré''' est un [[nombre figuré]] [[Nombre polygonal centré|polygonal centré]] qui peut être représenté par un [[hexagone régulier]] ayant un point en son centre et tous ses autres points disposés en couches hexagonales concentriques de {{math|6}} points, {{math|12}} points, {{math|18}} points, ''etc''.

[[File:Hex number 37.svg|thumb|Représentation du 4-ième nombre hexagonal centré]]
Les quatre plus petits nombres hexagonaux centrés sont :
{{retrait|<math>\begin{align}
& C_{6,1} = {\color{red}1}, \\
& C_{6,2} = 1 + {\color{orange}6} = 7, \\
& C_{6,3} = 7 + {\color{green}12} = 19, \\
& C_{6,4} = 19 + {\color{blue}18} = 37.
\end{align}</math>}}

== Gnomon, relation de récurrence ==
Pour tout [[Entier naturel|entier]] {{math|''n'' ≥ 1}}, le {{mvar|n}}-ième hexagone centré a un point central et {{math|''n'' – 1}} couches hexagonales régulières. Ainsi, il comporte {{mvar|n}} points sur chaque rayon et sur chaque côté.

Pour tout entier {{math|''n'' ≥ 2}}, la dernière couche du {{mvar|n}}-ième hexagone centré comporte {{math|6(''n'' – 1)}} points ; c'est le [[Gnomon (géométrie)|gnomon]] faisant passer du {{math|(''n'' – 1)}}-ième hexagone centré au {{mvar|n}}-ième :
: <math>\forall \ n \ge 2, \ C_{6,n} = C_{6,n-1} + 6(n-1).</math>

Le {{mvar|n}}-ième nombre hexagonal centré [[Nombre polygonal centré|s'obtient donc en]] ajoutant {{math|1}} au produit par {{math|6}} du {{math|(''n'' – 1)}}-ième [[nombre triangulaire]] :
: <math>C_{6,n} = 1+6T_{n-1} = 1+3n(n-1) = 3n^2-3n+1.</math>
Pour {{math|§=''n'' = 1}}, cette expression est valable aussi :
: {{math|§=''C''{{ind|6,1}} = 3×1{{2}} − 3×1 + 1 = 1}}.

== Exemple ==
[[File:Centered hexagonal = 1 + 6triangular.svg|thumb|Représentation à la fois du 5-ième nombre hexagonal centré et des six 4-ièmes nombres triangulaires autour de son centre]]
Le 5-ième nombre hexagonal centré est {{math|1}} plus {{math|6}} fois le 4-ième nombre triangulaire :
{{retrait|<math>\begin{align} C_{6,5}
& = {\color{red}1} + {\color{orange}6} + {\color{green}12} + {\color{blue}18} + {\color{purple}24} \\
& = {\color{red}1} + 6({\color{orange}1} + {\color{green}2} + {\color{blue}3} + {\color{purple}4}) \\
& = {\color{red}1} + 6T_4 \\
& = {\color{red}1} + 6 \!\! \times \!\! 10 \\
& = 61. \end{align}</math>}}
{{Clr}}

== Applications pratiques ==
Les nombres hexagonaux centrés ont des applications pratiques dans les domaines de la gestion de production et de la logistique, par exemple l'empaquetage de certains produits dans de plus grands récipients circulaires, comme les [[Saucisse de Francfort|saucisses de Francfort]] dans des conteneurs cylindriques.

== Liste de nombres hexagonaux centrés, propriété de congruence ==
Les nombres hexagonaux centrés inférieurs à {{math|[[1 000 (nombre)|1 000]]}} sont :
: {{math|[[1 (nombre)|1]], [[7 (nombre)|7]], [[19 (nombre)|19]], [[37 (nombre)|37]], [[61 (nombre)|61]], [[91 (nombre)|91]], [[127 (nombre)|127]], [[169 (nombre)|169]], [[217 (nombre)|217]], [[271 (nombre)|271]], [[331 (nombre)|331]], [[397 (nombre)|397]], [[469 (nombre)|469]], [[547 (nombre)|547]], [[631 (nombre)|631]], 721, 817, [[919 (nombre)|919]]}} (voir la {{OEIS|id=A003215}}).

Le [[chiffre des unités]] en [[base dix]] de cette [[suite d'entiers]] suit<ref name=":1" /> le motif palindromique {{math|1-7-9-7-1}} ; les nombres hexagonaux centrés sont donc tous [[Parité (arithmétique)|impairs]].

== Liens avec d'autres nombres figurés ==
Pour trouver les nombres hexagonaux centrés qui sont aussi des [[Nombre triangulaire|nombres triangulaires]] ou des [[Nombre carré|nombres carrés]], ou tout cela à la fois, il suffit de résoudre les [[Équation de Pell-Fermat|équations de Pell-Fermat]] associées.

=== Nombre hexagonal centré triangulaire ===
{{Pertinence section|date=juin 2022}}
: <math>C_{6,n} = T_m \Longleftrightarrow (2m+1)^2-6(2n-1)^2 = 3.</math>
Les quatre plus petits nombres à la fois hexagonaux centrés et triangulaires sont alors<ref name=":0" /> :
: {{math|§=''C''{{ind|6,1}} = 1 = ''T''{{ind|1}} ; ''C''{{ind|6,6}} = 91 = ''T''{{ind|13}} ; ''C''{{ind|6,55}} = 8 911 = ''T''{{ind|133}} ; ''C''{{ind|6,540}} = 873 181 = ''T''{{ind|1321}}.}}
Pour les suivants, voir :
: {{math|§=''C''{{ind|6,{{OEIS2C|A087125}}'''+1'''}} = {{OEIS2C|A006244}} = ''T''{{ind|{{OEIS2C|A031138}}}}.}}
(Pour la suite des nombres triangulaires, voir {{OEIS2C|A000217}}.)

=== Nombre hexagonal centré carré ===
{{Pertinence section|date=juin 2022}}
: <math>C_{6,n} = m^2 \Longleftrightarrow (2m)^2-3(2n-1)^2 = 1.</math>
Les quatre plus petits nombres à la fois hexagonaux centrés et carrés sont alors<ref name=":0" /> :
: {{math|§=''C''{{ind|6,1}} = 1 = 1{{2}} ; ''C''{{ind|6,8}} = 169 = 13{{2}} ; ''C''{{ind|6,105}} = 32 761 = 181{{2}} ; ''C''{{ind|6,1456}} = 6 355 441 = 2 521{{2}}.}}
Pour les suivants, voir :
: {{math|§=''C''{{ind|6,{{OEIS2C|A001921}}'''+1'''}} = {{OEIS2C|A006051}} = {{OEIS2C|A001570}}{{2}}.}}
(Pour la suite des nombres carrés, voir {{OEIS2C|A000290}}.)

=== Liens avec à la fois les nombres triangulaires et les nombres carrés ===
{{Pertinence section|date=juin 2022}}
* {{math|1}} est le seul<ref name=":0" /> nombre à la fois hexagonal centré et [[Nombre carré triangulaire|carré triangulaire]].
* Pour tout entier {{math|''n'' ≥ 1}}, la différence entre le {{mvar|n}}-ième nombre carré impair et le {{mvar|n}}-ième nombre hexagonal centré est le {{math|(''n'' – 1)}}-ième [[nombre oblong]] :
: {{retrait|{{math|(2''n'' – 1){{2}} – [1 + 3''n''(''n'' – 1)] {{=}} ''n''(''n'' – 1).}}}}
: Autrement dit, le {{mvar|n}}-ième nombre carré impair est la somme du {{mvar|n}}-ième nombre hexagonal centré et du double du {{math|(''n'' – 1)}}-ième nombre triangulaire :
: {{retrait|{{math|(2''n'' – 1){{2}} {{=}} ''C''{{ind|6,''n''}} + 2''T''{{ind|''n''–1}}}}.}}
: Cette relation peut faire l'objet d'une preuve sans mot : placer les deux triangles (ayant {{math|''n'' – 1}} points sur chaque côté) contre deux côtés opposés (ayant {{mvar|n}} points chacun) de l'hexagone forme deux pointes opposées et le corps d'un losange (ayant {{math|2''n'' – 1}} points sur chaque côté).

=== Somme partielle de nombres hexagonaux centrés : nombre cubique ===
[[File:Hex number 37 with cube.svg|vignette|4-ième nombre hexagonal centré vu comme le gnomon de transition d'un cube de côté {{math|3}} points à un cube de côté {{math|4}} points]]

* Pour tout entier {{math|''n'' ≥ 1}},
:: <math>C_{6,n} = 3n^2-3n+1 = { \color{dimgray} n^3-(n^3-3n^2+3n-1) } = n^3-(n-1)^3.</math>
: Ainsi<ref name=":0">{{MathWorld|titre=Hex Number|nom_url=HexNumber}}<BR>Attention : plusieurs confusions y sont faites entre les valeurs de {{mvar|n}} et celles de {{mvar|m}}.</ref>, pour {{math|''n'' ≥ 1}}, le {{mvar|n}}-ième nombre hexagonal centré est le [[Gnomon (géométrie)|gnomon]] faisant passer du {{math|(''n'' − 1)}}-ième au {{mvar|n}}-ième [[nombre cubique]] ({{cad}} le nombre de cubes de côté {{math|1}} visibles depuis un sommet d'un cube de côté {{mvar|n}} composé de cubes de côté {{math|1}})<ref>Voir figure sur : {{lien web |auteur=Gérard Villemin |titre=Nombres hexagonaux centrés - Relation avec les cubes géométriques |url=http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/SeptHexC.htm#prop}}</ref>.

* En particulier<ref name=":0" />{{,}}<ref>{{Lien web |titre=type de nombres : nombres premiers cubains |url=http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPMULTI/PremCuba.htm |site=villemin.gerard.free.fr |consulté le=2023-09-20}}</ref>, les nombres à la fois hexagonaux centrés et [[Nombre premier|premiers]] sont les nombres premiers différences de deux cubes consécutifs, {{cad}} les [[Nombre premier cubain|nombres premiers cubains]] de première espèce. On pense<ref>{{en}} N. J. A. Sloane, {{Lien web |titre=A002407 - Cuban primes: primes which are the difference of two consecutive cubes - OEIS |url=https://oeis.org/A002407 |site=oeis.org |consulté le=2023-09-22}}</ref> qu'il y en a une infinité.
: Les nombres hexagonaux centrés premiers inférieurs à {{math|[[1 000 (nombre)|1 000]]}} sont :
:: {{math|§=''C''{{ind|6,2}} = 7 = ''p''{{ind|4}} ; ''C''{{ind|6,3}} = 19 = ''p''{{ind|8}} ; ''C''{{ind|6,4}} = 37 = ''p''{{ind|12}} ; ''C''{{ind|6,5}} = 61 = ''p''{{ind|18}} ; ''C''{{ind|6,7}} = 127 = ''p''{{ind|31}} ;}}
:: {{math|§=''C''{{ind|6,10}} = 271 = ''p''{{ind|58}} ; ''C''{{ind|6,11}} = 331 = ''p''{{ind|67}} ; ''C''{{ind|6,12}} = 397 = ''p''{{ind|78}} ; ''C''{{ind|6,14}} = 547 = ''p''{{ind|101}} ; ''C''{{ind|6,15}} = 631 = ''p''{{ind|115}} ; ''C''{{ind|6,18}} = 919 = ''p''{{ind|157}}.}}
: Pour les suivants, voir :
:: {{math|§=''C''{{ind|6,{{OEIS2C|A002504}}}} = {{OEIS2C|A002407}} = ''p''{{ind|{{OEIS2C|A145203}}}}.}}
: (Pour la suite des nombres premiers, voir {{OEIS2C|A000040}}.)

* {{math|§=0{{3}} = 0}}, donc<ref name=":0" />{{,}}<ref name=":1">{{Lien web |titre=nombres géométriques hexagonaux centrés |url=http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/SeptHexC.htm |site=villemin.gerard.free.fr |consulté le=2023-09-19}}</ref> la somme des {{mvar|n}} plus petits nombres hexagonaux centrés est {{math|''n''{{3}}}}. Ainsi<ref>{{MathWorld|titre=Hex Pyramidal Number|nom_url=HexPyramidalNumber}}</ref>, les [[Nombre pyramidal|nombres pyramidaux]] hexagonaux centrés sont simplement les nombres cubiques, mais représentés par des formes différentes.

: Exemples<ref name=":1" /> :
:: {{math|§=1 = 1{{3}} ; 1 + 7 = 8 = 2{{3}} ; 1 + 7 + 19 = 27 = 3{{3}} ;}}
:: {{math|§=1 + 7 + 19 + 37 = 64 = 4{{3}} ;}}
:: {{math|§=1 + 7 + 19 + 37 + 61 = 125 = 5{{3}} ;}}
:: {{math|§=1 + 7 + 19 + 37 + 61 + 91 = 216 = 6{{3}}.}}

: Conséquence<ref name=":1" /> :<BR>Pour tout {{math|''n'' ≥ 1}}, la moyenne des {{mvar|n}} plus petits nombres hexagonaux centrés est le {{mvar|n}}-ième nombre carré :
:: <math>\frac{C_{6,1} + \cdots + C_{6,n}}n = { \color{dimgray} \frac{n^3}n } = n^2.</math>

: Exemples<ref name=":1" /> :
:: {{math|§={{sfrac|1|1}} = 1 = 1{{2}} ; {{sfrac|1+7|2}} = 4 = 2{{2}} ; {{sfrac|1+7+19|3}} = 9 = 3{{2}} ; {{sfrac|1+7+19+37|4}} = 16 = 4{{2}} ; {{sfrac|1+7+19+37+61|5}} = 25 = 5{{2}} ; {{sfrac|1+7+19+37+61+91|6}} = 36 = 6{{2}}.}}

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Centered hexagonal number|10000530|type=note}}
{{Références}}

{{Palette|Nombres figurés}}
{{Portail|Arithmétique}}

[[Catégorie:Nombre figuré|Hexagonal centré]]