Vizualizare sursă pentru „Număr real”

{{deznotă|'''Număr real'''|Real}}
[[File:Latex real numbers square.svg|right|thumb|80px|Simbolul mulțimii numerelor reale(ℝ)]]
[[File:Number-systems.svg|thumb|230px|Mulțimea numerelor reale (<math> \mathbb{R} </math>) include mulțimea numerelor raționale (ℚ), care la rândul ei include mulțimea numerelor întregi (ℤ), aceasta din urmă incluzând mulțimea numerelor naturale (ℕ)]]
Mulțimea '''numerelor reale''' este alcătuită din mulțimea numerelor pozitive și negative, cu oricâte [[număr zecimal|zecimale]] (inclusiv cu un [[număr irațional|număr infinit de zecimale neperiodice]]). Numerele reale sunt definite intuitiv ca fiind acele numere care sunt în [[corespondență biunivocă|corespondență unu-la-unu]] cu [[punct]]ele de pe o [[dreaptă]] infinită: [[axa numerelor]]. 

Termenul de "număr real" a apărut ulterior noțiunii de "[[număr imaginar]]"{{necesită citare}}. Numerele reale pot fi [[Număr rațional|raționale]] sau [[Număr irațional|iraționale]], [[număr algebric|algebrice]] sau transcendente, pozitive sau negative. Numerele reale iraționale pot fi aproximate prin șiruri de numere raționale prin [[aproximație diofantică]] cu o eroare prin lipsă de 10<sup>-n</sup>.

Simbolul mulțimii numerelor reale este '''R''' (sau alternativ, <math> \mathbb{R} </math>). Este o [[mulțime nenumărabilă]]. Ea constituie baza pentru operațiile din [[analiza reală]].

== Abordare axiomatică ==

Fie R mulțimea numerelor reale. Atunci:

* Mulțimea R, împreună cu operațiile de adunare și înmulțire formează un [[Corp (matematică)|corp]] . 
* Corpul R este ordonat, adică există o [[relație de ordine totală]] ≥ pe R astfel încât, pentru orice x,y și z din R, avem:  
** dacă x ≥ y atunci  x + z ≥ y + z; 
** dacă x ≥ 0 și y ≥ 0 atunci xy ≥ 0. 
* Ordinea este [[Richard Dedekind|Dedekind]]-completă, adică, orice submulțime nevidă S a lui R care are margine superioară în R are o cea mai mică margine superioară (numită supremum) în R.

Ultima proprietate diferențiază mulțimea numerelor reale de cea a numerelor raționale<ref>Coppel, p. 23</ref>. De exemplu, submulțimea numerelor raționale cu pătratul mai mic decât 2 are o margine superioară rațională (de ex. 1,5), dar nu are o cea mai mică margine superioară rațională, pentru că rădăcina pătrată a lui 2 nu este număr rațional.

Se poate demonstra că numerele reale sunt definite exact de proprietățile de mai sus. Mai exact, date fiind două corpuri ordonate Dedekind-complet R1 și R2, există un unic [[izomorfism]] de corpuri între R1 și R2, ceea ce ne permite să privim cele două corpuri ca pe același [[obiect matematic]].

== Note ==
<references/>

== Bibliografie ==
* [[Richard Dedekind]], ''Essays on the Theory of Numbers'', Courier Dover Publications, 1963, ISBN 0-486-21010-3
* [[William Andrew Coppel]], ''Number Theory: An Introduction to Mathematics'', Springer, 2006, ISBN 0-387-30529-7

{{Control de autoritate}}

{{Mulțimi de numere}}

[[Categorie:Numere reale| ]]