Trapezoide

Per a altres significats, vegeu «Trapezoide (os)».

Un trapezoide

Un trapezoide és un quadrilàter simple i convex no paral·lelogram, és a dir, un polígon tancat de quatre costats, cap dels quals no és paral·lel a un dels altres.

Àrea del trapezoide

Com altres polígons irregulars, l'àrea del trapezoide es pot calcular subdividint-lo en triangles.

Una possibilitat és traçar una línia entre dos vèrtexs oposats que en serà una de les dues diagonals; després traçarem dues línies perpendiculars a la diagonal que la uneixin amb els altres dos vèrtexs, i obtindrem així quatre triangles rectangles. Ja només cal calcular les àrees d'aquests triangles i sumar-les per obtenir l'àrea total del trapezoide.

Una altra possibilitat és subdividir-lo en només dos triangles i fer servir la fórmula d'Heró; d'aquesta manera ens estalviem d'haver de traçar tantes línies a l'interior del trapezoide. L'àrea l'obtindrem aleshores a partir de les longituds dels quatre costats i de la diagonal que hem fet servir per subdividir-lo. Anomenant a, b, c i d la longitud dels quatre costats, D la de la diagonal que uneix el vèrtex en què es tallen els costats corresponents a a i c i el vèrtex en què es tallen els costats corresponents a b i d, i sent s la semisuma (la meitat de la suma) de a, b i D, i t la semisuma de c, d i D, l'àrea del trapezoide serà aquesta:

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-D)}}+{\sqrt {t(t-c)(t-d)(s-D)}}$

Una manera equivalent a l'anterior permet de fugir de les semimisumes esmentades:

$A={\frac {1}{4}}({\sqrt {(a^{2}+b^{2}+D^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+D^{4})}}+{\sqrt {(c^{2}+d^{2}+D^{2})^{2}-2(c^{4}+d^{4}+D^{4})}})$,

tenint present que a, b, c i d són la longitud dels quatre costats del trapezoide i D és la de la diagonal que uneix el vèrtex en què es tallen els costats corresponents a a i c i el vèrtex en què es tallen els costats corresponents a b i d.