Física matemàtica
El terme física matemàtica fa referència al desenvolupament dels mètodes matemàtics aplicats als problemes de la física. El Journal of Mathematical Physics defineix el camp com "l'aplicació de les matemàtiques a problemes de la física i el desenvolupament de mètodes matemàtics adequats per a tals aplicacions i per a la formulació de teories físiques".[1] Una definició alternativa també inclou aquelles matemàtiques inspirades per la física, conegudes com matemàtiques físiques.[2]
Enfocament
Hi ha diverses branques diferents de la física matemàtica, que vagament corresponen a parts històricament particulars del món.
Mecànica clàssica
Aplicar les tècniques de la física matemàtica a la mecància clàssica sol implicar una reformulació rigurosa, abstracta i avançada de la mecànica newtoniana en els termes de la mecànica lagrangiana i de la mecànica hamiltoniana (tots dos plantejament amb restriccions incloses). Totes dues formulacions formen part del que s'anomena mecànica analítica i permeten entendre amb profunditat la interacció entre les nocions de la simetria i de les lleis de conservació de quantitats durant l'evolució dinàmica de sistemes mecànics, talment com en la formulació més elemental del teorema de Noether. S'han estès aquestes idees i plantejaments a altres àrees de la física, com en la mecànica estadística, la mecànica dels medis continus, la teoria clàssica de camps i la teoria quàntica de camps. A més, han proporcionat múltiples exemples d'idees en geometria diferencial (per exemple, diverses nocions de geometria simplèctica i fibrats vectorials).
Equacions diferencials en derivades parcials
Dins de les matemàtiques pròpiament dites, les equacions diferencials en derivades parcials, el càlcul de variacions, l'ànàlisi de Fourier, la teoria potencial i l'anàlisi vectorial són potser les àrees més estretament lligades a la física matemàtica. Aquests camps van ser desenvolupats intensament a partir de la segona meitat del segle XVII (per matemàtics com d'Alembert, Euler, i Lagrange) fins als anys 1930. Els camps on aquests desenvolupaments tenen aplicació física inclouen l'hidrodinàmica, la mecànica celeste, la mecànica dels medis continus, la teoria de l'elasticitat, l'acústica, la termodinàmica, l'electricitat, el magnetisme i l'aerodinàmica.
Teoria quàntica
La teoria de l'espectroscopia atòmica (i, posteriorment, la mecància quàntica) es va desenvolupar gairebé de manera simultània amb algunes parts dels camps matemàtics de l'àlgebra lineal, la teoria espectral dela operadors, l'àlgebra d'operadors i, més àmpliament, l'anàlisi funcional. La mecànica quàntica no relativista inclou els operadors d'Schrödinger i té connexions amb la física atòmica i molecular. La teoria de la informació quàntica n'és una altra subespecialitat.
Teories de la relativitat i de la relativitat quàntica
Les teories especial i general de la relativitat requereixen un tipus de matemàtiques més aviat diferents. Això inclou la teoria de grups, que va tenir un paper important tant en la teoria quàntica de camps com en la geometria diferencial. Això va ser, tanmateix, gradualment complementat per la topologia i l'anàlisi funcional pel que fa a la descripció dels fenòmens cosmològics i de la teoria quàntica de camps. En la descripció matemàtica d'aquestes àrees físiques, també són importants alguns conceptes de l'àlgebra homològica i de la teoria de categories.[3]
Mecànica estadística
La mecànica estadística forma un camp a part, que inclou la teoria de les transicions de fase. Es basa en la mecànica hamiltoniana (o en la seva versió quàntica) i està fortament lligada amb la teoria ergòdica, més matemàtica, i amb algunes parts de la teoria de la probabilitat. Cada vegada hi ha més interaccions entre la combinatòria i la física, en particular amb la física estadística.
Ús
L'ús del terme "física matemàtica" és sovint idiosincràtic. Algunes part de les matemàtiques que incialment van sorgir del desenvolupament de la física no són, de fet, considerades part de la física matemàtica, mentre qua altres camps fortament relacionats ho són. Per exemple, les equacions diferencials ordinàries i la geometria simplèctica són generalment vistes com a disciplines matemàtiques pures, mentre que els sistemes dinàmics i la mecànica hamiltoniana pertanyen a la física matemàtica. El físic anglès John Herapath va utilitzar el terme pel títol del seu text de 1847 "principis matemàtics de la filosofia natural", que tenia com a enfocament " les causes de la calor, l'elasticitat gasosa, la gravitació i altres grans fenòmens de la natura".[4]
Física matemàtica vs. física teòrica
El terme "física matemàtica" s'utilitza sovint per denotar la recerca adreçada a l'estudi i resolució de problemes físics o experiments mentals en un marc matemàticament rigorós. En aquest sentit, la física matemàtica cobreix un àmbit acadèmic molt ampli que només es distingeix per la combinació d'algun aspecte matemàtic o un aspecte més proper a la física teòrica. Tot i que està relacionat amb la física teòrica,[5] la física matemàtica en aquest sentit emfasitza el rigor matemàtic similar al que es troba en les matemàtiques.
D'altra banda, la física teòrica emfasitza les relacions entre les observacions i la física experimental, que sovint requereix que els físics teòrics (i als físics matemàtics en el sentit més genereal) utilitzin arguments heurístics, intuïtius i aproximats.[6] Els matemàtics no consideren que tals arguments siguin rigorosos.
Aquests físics matemàtics principalment espandeixen in diluciden teories físiques. A causa del nivell de rigor matemàtic necessari, aquests investigadors sovint tracten qüestions que els físics teòrics han considerat que ja estaven resoltes. No obstant això, de vegades demostren que la solució prèvia era incompleta, incorrecta o simplement massa naïf. Qüestions derivades dels intents d'inferir la segona llei de la termodinàmica a partir de la mecànica estadística en són exemples. Altres exemples poden ser les subtileses relacionades amb procesos de sincronització en la relativitat especial i general (efecte de Sagnac i sincronització d'Einstein).
L'esforç de posar les teories físiques en un marc matemàtic rigorós no només va desenvolupar la física sinó que també ha influenciat en el desenvolupament de certes àrees de les matemàtiques. Per exemple, existeixen diversos paral·lelismes en el desenvolupament de la mecànica quàntica i alguns aspectes de l'ànàlisi funcional. L'estudi matemàtic de la mecànica quàntica, de la teoria quàntica de camps i de la mecànica estadística quàntica ha motivat diversos resultat en àlgebra d'operadors. L'intent de construir una formulació matemàtica rigorosa de la teoria quàntica de camps també ha fet avançar alguns camps com la teoria de la representació.
Físics matemàtics prominents
Abans de Newton
Hi ha tradició en l'anàlisi matemàtica de la natura des dels antic grecs: en són exemples Euclides (Òptica), Arquimedes (De l'equilibri dels plans, Dels cossos flotants), i Ptolomeu (Òptica, Harmonia).[7][8] Posteriorment, els erudits islàmics i bizantins van construir sobre aquestes bases, i van ser en última instància reintroduïts o van arribar a l'abast d'Occident en el segle XII i durant el Renaixement.
En la primera dècada del segle XVI, l'astrònom amateur Nicolau Copèrnic va proposar l'heliocentrisme, i va publicar -ne un tractat l'any 1543. Va mantenir la idea de l'epicicle de Ptolomeu, i meremant va intentar simplificar l'astronomia construint conjunts més simples d'òrbites epicícliques. Els epicicles consisteixen en cercle dins de cercles. Segons la física aristotèlica, el cercle era la forma de moviment perfecta, i era la moció intrínseca del cinquè element d'Aristòtil—la quinta essència o essència universal coneguda en grec com aithēr en català, aire pur—que era la substància pura més enllà del món sublunar, i que per tant era la composició pura dels ens celestials. L'alemany Johannes Kepler [1571–1630], l'ajudant de Tycho Brahe, va modificar les òrbites copernicanes a el·lipses, canvi que va formalitzar en les equacions conegudes com lleis de Kepler.
Un atomista entusiasta, Galileo Galilei en el seu llibre de 1623 The Assayer va afirmar que el "llibre de la natura està escrit en l'idioma de les matemàtiques".[9] El seu llibre de 1632, sobre les seves observacions telescòpiques, recolzava l'heliocentrisme.[10] Havent introduït els seus experiments, Galileo va rebutjar la cosmologia geocèntrica refutant la física aristotèlica en sí. El llibre de Galileo de 1638 Discursos i Demostracions Matemàtiques Entorn de Dues Noves Ciències va establir la llei de caiguda lliure igual així com els principis del moviment inercial, fundant els conceptes centrals del que avui en dia es coneix com la mecànica clàssica.[10] En virtud de la llei d'inèrcia així com del principi de la relativitat Galileana, també anomenat relativitat galileana, per tot objecte amb inèrcia, hi ha justificació empírica sabent només que es troba en repòs relatiu o en moviment-repòs o moviment relatiu respecte d'un altre objecte.
Cèlebrement, René Descartes va desenvolupar un sistema complet de cosmologia heliocèntrica ancorat en el principi del moviment de vòrtex, la física caretesiana, l'àmplia acceptació del qual va donar lloc a la desaparició de la física aristotèlica. Descartes va intentar formalitzar el raonament matemàtic en la ciència, i va desenvolupar el sistema de coordenades cartesianes per representar geomètricament ubicacions en l'espai tridimensionals i marcar les seves progressions al llarg del pas del temps.[11]
Un contemporani més gran que Newton, Christiaan Huygens, va ser el primer a idealitzar un problema físic a partir d'un conjunt de paràmetres i el primer a "matematitzar" plenament una explicació mecanística de fenòmens físics no observables. Per aquestes raons Huygens és considerat el primer físic teòric i un dels fundadors de la física matemàtica moderna.[12][13]
Descartes, física newtoniana i post-newtoniana
 |
Aquest article o secció s'està elaborant i està inacabat. Un viquipedista hi està treballant i és possible que trobeu defectes de contingut o de forma. Comenteu abans els canvis majors per coordinar-los. Aquest avís és temporal: es pot treure o substituir per {{incomplet}} després d'uns dies d'inactivitat. |
Física relativista
Física quàntica
Un altre desenvolupament revolucionari del segle XX va ser la teoria quàntica, que va emerigir en una contribució seminal de Max Planck (1856–1947) (sobre la radiació del cos negre) i en el treball d'Einstein de l'efecte fotoelèctric. L'any 1912, el matemàtic Henri Poincaré va publicar Sur la théorie des quanta (Sobre la teoria dels quanta).[14][15] Va introduir la primera definició no naïf de la quantització en el seu article. A aquestes contribucions van seguir el primer desenvolupament de la física quàntica seguit per un marc heurístic creat per Arnold Sommerfeld (1868–1951) i Niels Bohr (1885–1962), però de seguida va ser substituït per la mecànica quàntica desenvolupada per Max Born (1882–1970), Louis de Broglie(1892–1987), Werner Heisenberg (1901–1976), Paul Dirac (1902–1984), Erwin Schrödinger (1887–1961), Satyendra Nath Bose (1894–1974), i Wolfgang Pauli (1900–1958). Aquest marc teòric revolucionari es basa en una interpretació probabilística dels estats, i les evolucions i mesures en termes d'operadors autoadjunts en un espai vectorial d'infinites dimensions. Aquest espai rep el nom d'espai de Hilbert (fou introduït pels matemàtics David Hilbert (1862–1943), Erhard Schmidt(1876–1959) i Frigyes Riesz (1880–1956) intentant generalitzar l'espai euclidià i l'estudi de les equacions integrals), i va ser definit rigurosament en la versió axiomàtica moderna de John von Neumann en el seu cèlebre llibre Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, en què va construir una part relevant de l'anàlisi funcional moderna en espais de Hilbert, la teoria espectral (introduïda per David Hilbert, que investigava les formes quadràtiques de infinites variables. Molts anys més tard, s'ha revelat que aquesta teoria espectral està associada amb l'espectre de l'àtom d'hidrogen. El va sorprendre aquesta aplicació.) en particular. Paul Dirac va utilitza les construccions algebraiques per produir un model relativista de l'electró, preveient el seu moment magnètic i l'existència de la seva antipartícula, el positró.
Vegeu també
Referències
- ↑ Definició de la Journal of Mathematical Physics. «Archived copy». Arxivat de l'original el 2006-10-03. [Consulta: 3 octubre 2006].
- ↑ «Physical mathematics and the future». www.physics.rutgers.edu. [Consulta: 9 maig 2022].
- ↑ «quantum field theory». nLab.
- ↑ John Herapath (1847) Mathematical Physics; or, the Mathematical Principles of Natural Philosophy, the causes of heat, gaseous elasticity, gravitation, and other great phenomena of nature, Whittaker and company via HathiTrust
- ↑ Citació: " ... una definició negativa del físic teòric fa referència a la seva incapacitat de fer experiments físics, mentre que una de positiva... implica el seu coneixement enciclopèdic de la física combinat amb la possessió d'armament matemàtic suficient. Depenent de la proporció d'aquests dos components, el físic teòric pot estar més a prop de l'experimentalista o del matemàtic. En aquest darrer cas, se sol considerar com a especialista en física matemàtica.", Ya. Frenkel, as related in A.T. Filippov, The Versatile Soliton, pg 131. Birkhauser, 2000.
- ↑ Quote: "Physical theory is something like a suit sewed for Nature. Good theory is like a good suit. ... Thus the theorist is like a tailor." Ya. Frenkel, as related in Filippov (2000), pg 131.
- ↑ Pellegrin, P. «Physics». Greek Thought: A Guide to Classical Knowledge, 2000, pàg. 433–451.
- ↑ Berggren, J. L. «The Archimedes codex». Notices of the AMS, vol. 55, 8, 2008, pàg. 943–947.
- ↑ Peter Machamer "Galileo Galilei"—sec 1 "Brief biography", in Zalta EN, ed, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Spring 2010 edn
- ↑ 10,0 10,1 Antony G Flew, Dictionary of Philosophy, rev 2nd edn (New York: St Martin's Press, 1984), p 129
- ↑ Antony G Flew, Dictionary of Philosophy, rev 2nd edn (New York: St Martin's Press, 1984), p 89
- ↑ Dijksterhuis, F. J. (2008). Stevin, Huygens and the Dutch republic. Nieuw archief voor wiskunde, 5, pp. 100–107. https://research.utwente.nl/files/6673130/Dijksterhuis_naw5-2008-09-2-100.pdf
- ↑ Andreessen, C.D. (2005) Huygens: The Man Behind the Principle. Cambridge University Press: 6
- ↑ McCormmach, Russell «Henri Poincaré and the Quantum Theory». Isis, vol. 58, 1, Spring 1967, pàg. 37–55. DOI: 10.1086/350182.
- ↑ Irons, F. E. «Poincaré's 1911–12 proof of quantum discontinuity interpreted as applying to atoms». American Journal of Physics, vol. 69, 8, 8-2001, pàg. 879–84. Bibcode: 2001AmJPh..69..879I. DOI: 10.1119/1.1356056.
Bibliografia complementària
...