Pla

Per a altres significats, vegeu «Pla (desambiguació)».

Representació isomètrica de la intersecció de dos plans perpendiculars a l'espai tridimensional.

És un dels elements bàsics de la geometria. En matemàtiques un pla és una superfície imaginària de dues dimensions infinita i sense curvatura. Juntament amb el punt i la recta és un dels tres conceptes fonamentals de la geometria clàssica.

Els plans són infinits i es poden definir mitjançant:

• Tres punts no alineats.
• Una recta i un punt que no pertany a aquesta recta.
• Dues rectes que s'intersecten.
• Dues rectes paral·leles.

Els plans se solen anomenar amb lletres de l'alfabet grec.

Equacions del pla

Per a determinar un pla matemàticament sempre són necessaris dos vectors (linealment independents) i un punt: Punt P = (x₀, y₀, z₀)
Vector u = (a₁, b₁, c₁)
Vector v = (a₂, b₂, c₂)

Per a expressar el pla definit per aquests elements hi ha diverses formes:

1. Equació vectorial
2. Equacions paramètriques
3. Equació general
4. Equació canònica

Equació vectorial

L'equació vectorial del pla és la més simple i directa i té la forma:

$(x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0})+m(a_{1},b_{1},c_{1})+n(a_{2},b_{2},c_{2})\,\!$

Equacions paramètriques

Les equacions paramètriques són el resultat de separar l'equació vectorial, deixant els tres components $(x,y,z)$ aïllats amb els seus components del punt i dels vectors.

${\begin{cases}x=x_{0}+ma_{1}+na_{2}\\y=y_{0}+mb_{1}+nb_{2}\\z=z_{0}+mc_{1}+nc_{2}\end{cases}}$

Equació general o cartesiana

És la forma més usada per a expressar un pla, ja que resulta més simple d'usar per a resoldre sistemes de plans i rectes posteriorment. Aquesta és el resultat d'igualar a zero el determinant compost pel punt X = (x, y, z) i dos dels vectors del pla:

${\begin{vmatrix}(\mathbf {X} -\mathbf {P} )\\\mathbf {u} \\\mathbf {v} \end{vmatrix}}=0\rightarrow {\begin{vmatrix}x-x_{0}&y-y_{0}&z-z_{0}\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{vmatrix}}=0\rightarrow Ax+By+Cz+D=0$

o també disposant els elements de la següent forma:

${\begin{vmatrix}(\mathbf {X} -\mathbf {P} )&\mathbf {u} &\mathbf {v} \end{vmatrix}}=0\rightarrow {\begin{vmatrix}x-x_{0}&m_{x}&n_{x}\\y-y_{0}&m_{y}&n_{y}\\z-z_{0}&m_{z}&n_{z}\end{vmatrix}}=0\rightarrow Ax+By+Cz+D=0$

Equació canònica o segmentària

L'equació segmentària del pla es forma a partir de la cartesiana. És el resultat de passar el terme independent $D$ a l'altra banda de la igualtat i dividir tots els termes per $-D$ (deixant el terme independent igualat a 1), per posteriorment, passar els termes A, B i C a dividir el $-D$ a sota de la fracció. Així, la forma final de l'equació, és:

${\frac {x}{\frac {-D}{A}}}+{\frac {y}{\frac {-D}{B}}}+{\frac {z}{\frac {-D}{C}}}=1$

Posició relativa de 2 plans

Dos plans en l'espai poden tenir tres posicions relatives. Poden ser coincidents, paral·lels o secants.

Representació de dos plans, amb una posició relativa secant, determinant una recta al tallar-se.

Plans coincidents

Dos plans són coincidents quan ambdós plans tenen els seus vectors normals de mateixa direcció i tenen el mateix punt P, de manera que en el pla general:

${\frac {A}{A'}}={\frac {B}{B'}}={\frac {C}{C'}}={\frac {D}{D'}}$

Plans paral·lels

Dos plans són paral·lels quan ambdós plans tenen els seus vectors normals de mateixa direcció però tenen un punt P diferent, de manera que en el pla general:

${\frac {A}{A'}}={\frac {B}{B'}}={\frac {C}{C'}}\;\neq {\frac {D}{D'}}$

Plans secants

Dos plans són secants quan ambdós plans tenen els seus vectors normals de diferent direcció, de manera que en el pla general:

${\frac {A}{A'}}\;\neq {\frac {B}{B'}}$

Els plans secants al tallar-se determinen una recta.

Vector associat a un pla

El vector $w$ compost pels components (A, B i C) és un vector perpendicular al pla d'equació $Ax+By+Cz+D=0$. Aquest vector s'anomena vector associat o normal del pla i s'usa molt freqüentment per a la resolució de distàncies i angles entre elements geomètrics.
L'equació general d'un pla queda doncs determinada per un vector $w$ associat i per un punt $M$, ja que el vector associat determina els coeficients A, B i C de l'equació i les coordenades del punt permeten trobar el valor del terme independent D, mitjançant una simple substitució. Amb el vector associat es pot trobar l'equació d'un pla perpendicular a una recta i tabmé l'equació d'una recta perpendicular amb un pla.
A més a més el vector associat a un pla és un vector orientador del pla perpendicular.

Referències

1. {{{títol}}}. ISBN 978-84-481-7025-7. 
2. Weisstein, Eric W. "Plane" de Mathworld