Kosinus

Kosinus je goniometrická funkce. V pravoúhlém trojúhelníku bývá definována jako poměr přilehlé odvěsny a přepony. Pro označení této funkce se obvykle používá zkratka cos a jejím grafem je kosinusoida.

Graf funkce kosinus.

Vlastnosti

Funkce $y=\cos x\,\!$ má následující vlastnosti (kde k je libovolné celé číslo):

• Definiční obor: $\mathbb {R}$ (reálná čísla)
• Obor hodnot: $\langle -1;1\rangle$
• Rostoucí: v každém intervalu $\left(\pi +2k\pi ,2\pi +2k\pi \right)$
• Klesající: v každém intervalu $\left(2k\pi ,\pi +2k\pi \right)$
• Maximum: $2k\pi$
• Minimum: $\pi +2k\pi$
• Derivace: $y'=-\sin x\,\!$
• Integrál: $\int \cos x\,\mathrm {d} x=\sin x+c$
• Taylorův polynom: $\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}$
• Inverzní funkce: arkus kosinus (arccos)
• je:
  • sudá
  • omezená shora i zdola
  • periodická s periodou $2k\pi$

Kosinus v komplexním oboru

Funkce kosinus je v komplexních číslech definována součtem řady

$\cos z=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}$

která konverguje na celé komplexní rovině. Pro každá dvě komplexní čísla z₁,z₂ platí:

$\cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}},$

$\cos \left(z_{1}+z_{2}\right)=\cos z_{1}\cos z_{2}-\sin z_{1}\sin z_{2},$

$\cos iz=\cosh z,\,$

Tyto vzorce plynou přímo z příslušných definičních mocninných řad daných funkcí. Kosinus je na celé komplexní rovině jednoznačná holomorfní funkce.

Související články

• Goniometrie
• Sinus
• Tangens
• Kotangens
• Cyklometrické funkce
• Kosinová věta

Externí odkazy

Funkce kosinus a sekans na Matematice pro každého