Isometrie

Eine Isometrie ist in der Mathematik eine Abbildung, die zwei metrische Räume aufeinander abbildet und dabei die Metrik (Abstand, Distanz) erhält. Das heißt, der Abstand zweier Bildpunkte ist gleich groß wie der der Urbildpunkte.

In der Euklidischen und der synthetischen Geometrie werden speziell solche Isometrien betrachtet, die zugleich geometrische Abbildungen für die betrachteten Räume sind. Meist spricht man dann von einer abstandserhaltenden, längentreuen oder auch isometrischen Abbildung. Wenn die geforderten Zusatzeigenschaften aus dem Zusammenhang klar sind, einfach von einer Isometrie.

Davon abweichend versteht man in der riemannschen Geometrie unter einer Isometrie eine Abbildung, die die riemannsche Metrik, und damit nur die Längen von Vektoren und die Längen von Kurven erhält. Eine solche Abbildung braucht nicht die Abstände zwischen zwei Punkten zu erhalten.

Definition

Sind zwei metrische Räume $(M_{1},d_{1})$, $(M_{2},d_{2})$ gegeben, und $f\colon M_{1}\rightarrow M_{2}$ eine Abbildung mit der Eigenschaft

$d_{2}\left(f(x),f(y)\right)=d_{1}(x,y)\$ für alle $x,y\in M_{1}$,

dann heißt $f$ Isometrie von $M_{1}$ nach $M_{2}$. Eine solche Abbildung ist stets injektiv. Ist $f$ sogar bijektiv, dann heißt $f$ isometrischer Isomorphismus, und die Räume $M_{1}$ und $M_{2}$ heißen isometrisch isomorph; andernfalls nennt man $f$ eine isometrische Einbettung von $M_{1}$ in $M_{2}$.

Spezialfälle

Normierte Vektorräume

In normierten Vektorräumen $V$ ist der Abstand zwischen zwei Vektoren $u,v\in V$ durch die Norm des Differenzvektors definiert:

$d(u,v)=\|v-u\|$.

Sind $V$ und $W$ zwei normierte Vektorräume mit Norm $\|\cdot \|_{V}$ bzw. $\|\cdot \|_{W}$ und ist $f\colon V\to W$ eine lineare Abbildung, so ist diese Abbildung genau dann eine Isometrie, wenn sie die Norm erhält, wenn also für alle $v\in V$

$\|f(v)\|_{W}=\|v\|_{V}$

gilt.

Ohne die Voraussetzung der Linearität gilt für reelle normierte Vektorräume:

• Wenn die Norm $\|\cdot \|_{W}$ des Zielraums strikt konvex ist, ist jede Isometrie $V$ nach $W$ eine affine Abbildung.
• Jede surjektive Isometrie ist eine affine Abbildung (Satz von Mazur-Ulam).

In beiden Fällen gilt: Bildet die Abbildung den Nullvektor von $V$ auf den Nullvektor von $W$ ab, so ist sie linear.

Vektorräume mit Skalarprodukt

Ist $V$ ein Vektorraum mit Skalarprodukt, so ist die induzierte Norm (Länge) eines Vektors definiert als die Quadratwurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. Für den Abstand zweier Vektoren $u$ und $v$ ergibt sich dann:

$d(u,v)=\|v-u\|={\sqrt {\langle u-v,u-v\rangle }}$,

wobei das Skalarprodukt hier durch spitze Klammern bezeichnet wird.

Sind $V$ und $W$ Vektorräume mit Skalarprodukt $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{V}$ bzw. $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{W}$ und ist $f\colon V\to W$ eine lineare Abbildung, so ist diese Abbildung genau dann eine lineare Isometrie, wenn sie das Skalarprodukt erhält, das heißt

$\langle f(u),f(v)\rangle _{W}=\langle u,v\rangle _{V}$ für alle $u,v\in V$.

Solche Abbildungen werden auch orthogonale Abbildungen (im Fall reeller Skalarprodukträume) und unitäre Abbildungen (im Fall komplexer Skalarprodukträume) genannt. Bei reellen Skalarprodukträumen muss dabei nicht vorausgesetzt werden, dass die Abbildung linear ist, denn jede Isometrie, die den Nullvektor auf den Nullvektor abbildet, ist in diesem Fall linear.

Ist $\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ eine Orthonormalbasis von $V$, so ist eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$ genau dann eine Isometrie, wenn $\{f(a_{1}),\ldots ,f(a_{n})\}$ ein Orthonormalsystem in $W$ ist.

Die Menge aller linearen Isometrien eines euklidischen Vektorraums in sich bildet eine Gruppe, die orthogonale Gruppe des Raums. Entsprechend bildet die Menge aller linearen Isometrien eines unitären Vektorraums in sich die unitäre Gruppe des Raums.

Euklidischer Punktraum

→ Hauptartikel: Bewegung (Mathematik)

Jede Isometrie $f\colon E\to F$ zwischen zwei euklidischen Punkträumen $E$ und $F$ ist eine affine Abbildung. Sie lässt sich in der Form

$f(Q)=f(P)+{\vec {f}}({\overrightarrow {PQ}})$ für alle $P,Q\in E$

darstellen, wobei ${\vec {f}}\colon V_{E}\to V_{F}$ eine lineare Isometrie zwischen den zugehörigen euklidischen Vektorräumen $V_{E}$ und $V_{F}$ ist.

Umgekehrt ist jede Abbildung, die sich so darstellen lässt, eine Isometrie. Isometrien eines euklidischen Punktraums in sich heißen auch Bewegungen.

Weitere Eigenschaften

• Aus der Definition folgt unmittelbar, dass jede Isometrie stetig ist.
• Jede Isometrie ist sogar Lipschitz-stetig, also insbesondere gleichmäßig stetig. Isometrien sind damit stetig fortsetzbar auf den Abschluss, wenn der Bildraum vollständig ist.
• Jeder metrische Raum ist isometrisch isomorph zu einer abgeschlossenen Teilmenge eines normierten Vektorraums, und jeder vollständige metrische Raum ist isometrisch isomorph zu einer abgeschlossenen Teilmenge eines Banachraums.
• Gilt $M_{1}=M_{2}$ und $d_{1}=d_{2}$ und werden durch $f$ zwei Figuren aufeinander abgebildet, so heißen die Figuren kongruent zueinander. Gilt $M_{1}=M_{2}$ und $d_{1}\neq d_{2}$, so heißen sie ähnlich; ansonsten spricht man einfach von isometrischen Figuren.
• Jede Isometrie eines euklidischen Raums erhält auch Winkel, Flächeninhalt und Volumen.
• Allgemein erhält jede Isometrie zwischen metrischen Räumen die Hausdorff-Maße.

Literatur

• Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 2. überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-00121-2, (Springer-Lehrbuch).