Messraum (Mathematik)

Ein Messraum ist ein Begriff der Maßtheorie, einem Teilbereich der Mathematik, der sich mit der Verallgemeinerung von Volumenbegriffen beschäftigt. Messräume bilden hier ein Analogon zum Definitionsbereich, sie geben an, über welche Mengen eine Aussage getroffen werden kann.

Definition

Ein Tupel $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ heißt Messraum oder messbarer Raum, wenn

• $\Omega$ eine beliebige Grundmenge ist und
• ${\mathcal {A}}$ eine Sigma-Algebra auf dieser Grundmenge ist.

Eine Menge $A$ heißt Messbare Menge, wenn $A\in {\mathcal {A}}$ ist.

Abgrenzung zu anderen Messbarkeitsbegriffen

Wichtig für den hier verwendeten Begriff einer messbaren Menge ist, dass dafür kein Maß definiert sein muss, sondern nur ein Messraum. Daher spricht man auch Teilweise von Messbarkeit bezüglich eines Messraumes.

Davon abzugrenzen ist die Messbarkeit nach Carathéodory von Mengen bezüglich eines äußeren Maßes. Auch hier wird kein Maß benötigt, sondern nur ein äußeres Maß.

Beispiele

Betrachtet Man als Beispiel den Grundraum

$\Omega =\{0,1,2,3,4\}$

und definiert darauf die zwei Sigma-Algebren

${\mathcal {A}}_{1}={\mathcal {P}}(\Omega )$ und

${\mathcal {A}}_{2}=\{\Omega ,\emptyset ,\{1\},\{2,3,4,0\}\}$.

Dann sind $M_{1}=(\Omega ,{\mathcal {A}}_{1})$ und $M_{2}=(\Omega ,{\mathcal {A}}_{2})$ Messräume, aber die Menge $\{0\}$ ist nur Messbar bezüglich $M_{1}$ und nicht bezüglich $M_{2}$.

Allgemein bildet jede Menge mit ihrer Potenzmenge einen Messraum. Besonders in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet man häufig den Messraum $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ der Borelschen σ-Algebra.

Verwendung

Messräume finden in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Maßtheorie zahlreiche Anwendung. Einerseits lassen sie sich nach Wahl eines Maßes zu einem Maßraum erweitern (bzw. nach Wahl eines Wahrscheinlichkeitsmaßes zu einem Wahrscheinlichkeitsraum), andererseits entsprechen sie dem Wertebereich bei Konstruktion von Bildmaßen mittels messbarer Funktionen.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.