Differenzengleichung

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Eine Differenzengleichung ist eine rekursive Berechnungsvorschrift für eine diskrete Folge von Werten $y_{k},\,k=(0,\ 1,\ 2,\ 3,\dotsc )$ im Abstand eines Intervalls $\Delta x$. Jedes berechnete Folgeglied bezieht sich auf ein zurückliegendes Folgeglied oder mehrere zurückliegende Folgeglieder, je nach Ordnung der Differenzengleichung.

Differenzengleichungen werden zur numerischen Berechnung in vielen wissenschaftlichen Disziplinen – wie Wirtschaft, Medizin, Technik, Elektrotechnik, Kybernetik, Informatik, Akustik und andere – eingesetzt, deren Problemstellungen durch gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen beschrieben werden können.

Der Schwerpunkt dieses Artikels befasst sich mit Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen mit dem Euler-Streckenzug-Verfahren am Beispiel einfacher Systeme. Dabei werden auch andere Diskretisierungsverfahren, Totzeitsysteme, nichtlineare Systeme und die z-Transformation tangiert.

Definition

In der Mathematik wird eine Gleichung der Form

$y_{k+n}=f(k,y_{k+n-1},y_{k+n-2},\dotsc ,y_{k}),k=0,1,2,\dotsc$

als Differenzengleichung oder Rekursionsgleichung der Ordnung $n$ bezeichnet. Eine Spezialform sind die linearen Differenzengleichungen.

Eine implizite Differenzengleichung liegt vor, wenn nicht nach dem Glied mit der höchsten Ordnung aufgelöst werden kann:

$y_{k+n}=f(k,y_{k+n},y_{k+n-1},y_{k+n-2},\dotsc ,y_{k}),k=0,1,2,\dotsc$

Einfachstes Verfahren zur Erstellung der Differenzengleichungen ist das explizite Euler-Streckenzugverfahren. Andere Methoden der numerischen Berechnung bedienen sich zur besseren Approximation z. B. an Stelle des Euler-Streckenzugverfahrens des Trapezflächenverfahrens (Heun-Verfahren), des Mehrschrittverfahrens (Adams-Bashforth-Verfahren) und anderer Verfahren.

Anwendungen

Differentialgleichungen werden in vielen Fachgebieten zur Beschreibung dynamischer Systeme eingesetzt. Deren numerische Lösung erfolgt über Differenzengleichungen. Beispiele sind:

• Wettersimulation (Finite-Differenzen-Methode)
• Flugbahnverfolgung von Satelliten (Raumflugmechanik).
• Regelungstechnik: Für den ingenieurtechnischen Bereich stehen die bekanntesten Programme wie Matlab und Simulink mit umfangreichen Befehlssätzen für die theoretische Modellierung von dynamischen Systemen und vielen speziellen kybernetischen und regelungstechnischen Anwendungen zur Verfügung. Die Simulationen können Offline oder in Echtzeit durchgeführt werden.
• Mehrkörpersimulation
• Epidemiologie (SIR-Modell)
• Wirtschaft oder Biologie (Lotka-Volterra-Gleichungen)

Differenzengleichungen nach dem Euler-Streckenzugverfahren

Allgemein berechnet eine Differenzengleichung der Ordnung $n$ schrittweise eine Wertefolge $y_{k+n}$ mit den Folgegliedern $k=(0,1,2,3,\dotsc ,k_{\text{max}})$ im Intervall $h=\Delta x$. Die ersten $n$ Folgeglieder sind die Anfangswerte.

Da sich gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung in einzelne Differentialgleichungen 1. Ordnung überführen lassen, kann für die weiteren Betrachtungen die Ordnung 1 vorausgesetzt werden. Beim einfachsten Integrationsverfahren werden daraus Differenzengleichungen erster Ordnung gebildet. Mit dem Anfangswert $y(x_{0})=y_{0}$, lässt sich über die Differenzengleichung die nächste Stützstelle $y_{1}$ an der Stelle $x_{1}$ berechnen. Das gilt auch für alle weiteren Stützstellen.

Lineare Systeme höherer Ordnung, die in Differentialgleichungen 1. Ordnung zerlegt werden und deren Systemverhalten mittels Differenzengleichungen 1. Ordnung berechnet werden, konvergieren nach dem Euler-Verfahren zur exakten Lösung, wenn das Intervall $h$ beziehungsweise im Zeitbereich das Intervall $\Delta t$ gegen Null geht.

Explizites Euler-Streckenzugverfahren (Euler-Vorwärts)

Siehe auch: Explizites Euler-Verfahren

Das einfachste Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen erster Ordnung ist das explizite Euler-Verfahren.

Für jeden Rechenschritt (Stützpunkt, Knoten) wird die Ableitung $y'(x)$ durch einen Vorwärts-Differenzenquotienten approximiert. Der Begriff Vorwärts-Differenzenquotient bezieht sich auf die linke Intervallgrenze.

Der Vorwärts-Differenzenquotient für eine Differentialgleichung $y'=f(x,y)$ und der Schrittweite $h$ lautet:

$y'\approx {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y(x+h)-y(x)}{(x+h)-x}}:={\frac {y_{k+1}-y_{k}}{h}}$

Beim Euler-Vorwärts-Verfahren wird das Integral für einen Streckenzug approximiert:

$\int _{x}^{x+h}f(y(x))dx\approx h\cdot f(y_{k},x_{k})$

Die Annäherung für das Integral ist die Festlegung, dass der Integrand $f(x,y)$ im gesamten Integrationsintervall konstant ist und durch den Wert $f(x,y)$ am linken Rand des Integrationsintervalls ersetzt werden kann.

Der Algorithmus zur Approximation des Integrals führt auf folgende Berechnungsvorschrift:

$y_{k+1}=y_{k}+h\cdot f(y_{k},x_{k})$

Dabei bedeutet:

• ${y_{k+1}}$=${\begin{bmatrix}y_{0}&=&y_{0}\\y_{1}&=&y_{0}&+&\ h\cdot f(y_{0},x_{0})\\y_{2}&=&y_{1}&+&\ h\cdot f(y_{1},x_{1})\\y_{k+1}&=&y_{k}&+&\ h\cdot f(y_{k},x_{k})\\\end{bmatrix}}$

${y_{k+1}}$ ist der neue Wert der rekursiven Differenzengleichung. ${y_{k=0}}$ wird dem Anfangswert zugeordnet.

Das explizite Eulerverfahren wird auch unter dem Begriff: Integrationsformel (Euler-Cauchy-Verfahren) bezeichnet.

Implizites Euler-Streckenzugverfahren (Euler Rückwärts)

→ Hauptartikel: Implizites Euler-Verfahren

Das implizite Eulerverfahren entsteht, wenn bei der Approximation des Integrals durch eine Rechteckfläche der Funktionswert nicht am linken, sondern am rechten Rand des Intervalls ausgewertet wird:

$\int _{x}^{x+h}f(y(x))dx\approx h\cdot f(y_{k+1},x_{k+1})$

Das führt auf folgende implizite Berechnungsvorschrift:

$y_{k+1}=y_{k}+h\cdot f(y_{k+1},x_{k+1})$

Anmerkungen:

• Beim impliziten Euler-Verfahren hängt $y_{k+1}$ von sich selbst ab. Zur Berechnung von $y_{k+1}$ ist daher entweder eine Iteration oder ein Prädiktorschritt erforderlich. Dieses Problem besteht bei linearen Systemen nicht.
• Das implizite Euler-Streckenzug-Verfahren ist gegenüber dem expliziten Verfahren das stabilere Verfahren. Es wird daher z. B. bei steifen Differentialgleichungen, die sich bei Anwendungen in der Hydraulik ergeben, eingesetzt.

Einfache Differenzengleichungen mit einer Variablen

Eine Differenzengleichung ist eine diskrete Berechnungsvorschrift für die Glieder einer rekursiv definierten Folge. Sie enthält Werte einer Variablen $y_{k}$ zu verschiedenen Zeitpunkten. Aus einem Element der Folge wird das nächste Folgeglied errechnet. Für die Berechnung der Folgeglieder wird immer ein Anfangswert $y_{k}=y_{0}$ benötigt.

Es handelt sich hier bei diesem Abschnitt nicht um eine Approximation an einen Verlauf einer durch Differentialgleichungen vorgegebenen mathematischen Funktion, sondern die nachfolgend dargestellten Differenzengleichungen ergeben sich durch die Aufgabenstellung. Dabei wird bei den Folgegliedern unterschieden:

• Bei der arithmetischen Folge wächst oder fällt jedes Folgeglied um einen festen Betrag.
• Bei der exponentiellen Folge wächst oder fällt jedes Folgeglied um einen relativen Anteil.

Beispiel: Gegeben sei eine homogene Differenzengleichung folgender Schreibweise:

$\Delta y_{k}-0{,}5\cdot y_{k}=0\quad |\quad {\text{mit}}\quad \Delta y_{k}=y_{k+1}-y_{k}$

Diese Gleichung kann nach Gleichungsumstellungen in verschiedenen Formen gleichwertig dargestellt werden:

• $y_{k+1}-y_{k}-0{,}5\cdot y_{k}=0\quad |\quad \Delta y_{k}=y_{k+1}-y_{k}\ {\text{eingesetzt}}$
• $y_{k+1}-1{,}5\cdot y_{k}=0$
• $y_{k+1}=1{,}5\cdot y_{k}$

Diese Form der Differenzengleichungen wird gerne für einfache Aufgabenstellungen wie Zinseszinsberechnung, zeitliche Entwicklung der Bevölkerungszahl, gebremstes Wachstum, Aufwärmen oder Abkühlen von Flüssigkeiten, Entleerung von Behältern (ohne Reibung) und andere verwendet. Die Berechnung dieser Aufgaben ist exakt und kann durch Berechnung der einzelnen Folgeglieder tabellarisch für die Folge $k=(0,\ 1,\ 2,\dotsc ,\ k_{\text{kmax}})$ durchgeführt werden.

Für die exponentielle Folge kann eine Gleichung mit dem sogenannten Wachstumsfaktor als Basis für eine exponentielle Funktion erstellt werden, der die Berechnung einzelner Folgen $y_{k}$ für ein beliebiges $k$ erlaubt.

Beispiel der Berechnung einer Folge:

Aus der nachfolgenden Differenzengleichung 1. Ordnung werden die Folgeglieder bestimmt:

$y_{k+1}=1{,}5\cdot y_{k}$.

Folge mit dem Anfangswert $y_{0}=4$:

$y_{0}=4$

$y_{1}=1{,}5\cdot y_{0}=1{,}5\cdot 4=6$

$y_{2}=1{,}5\cdot y_{1}=1{,}5\cdot 6=9$

$y_{3}=1{,}5\cdot y_{2}=1{,}5\cdot 9=13{,}5$

Die Differenz $y_{k+1}-y_{k}$ der errechneten Folgeglieder ist nicht konstant. Die Werte der Folgeglieder $y_{k}$ nehmen einen exponentiellen Verlauf. Die Berechnung weiterer Folgeglieder kann in dieser Weise für beliebige Werte von $k$ tabellarisch erfolgen.

Aus dieser einfachen Differenzengleichung mit Hilfe der Folgeglieder $y_{1}=1{,}5\cdot y_{0}$ und $y_{2}=1{,}5\cdot y_{1}$ lässt sich das Bildungsgesetz für ein beliebiges nummeriertes Folgeglied erraten und bilden. Damit gilt für diesen Anwendungsfall der Faktor vor $y_{k}=1{,}5$ als Basis der Exponentialfunktion und wird als Wachstumsfaktor bezeichnet.

$y_{k}=1{,}5^{k}\cdot y_{0}$

Beispiel einer Differenzengleichung zur numerischen Berechnung des Bevölkerungswachstums

Beispiel des Bevölkerungswachstums über 50 Jahre in Abhängigkeit von der Geburtenrate und der Sterberate

Gegeben: Stand der Bevölkerung eines Staates zu Beginn: $B_{0}=20$ Millionen Konstante Geburtenrate: $G=6\ \%$ pro Jahr Konstante Sterberate: $S=2\ \%$ pro Jahr Die Schrittweite beträgt $h=1$ Jahr Gesucht: Entwicklung der Bevölkerung nach 50 Jahren Gesucht: Differenzengleichung zur Bestimmung des Bevölkerungswachstums Anfangswert: $B_{0}=20$ Millionen am Anfang des ersten Jahres Bereinigte Geburtenrate: $a=G-S=(6-2)\ \%{\text{ pro Jahr}}=4\ \%{\text{ pro Jahr}}$ Differenzengleichung: $B_{k+1}=B_{k}+B_{k}\cdot a\cdot h=B_{k}+B_{k}\cdot {\frac {0{,}04}{1\ \mathrm {Jahr} }}\cdot 1\ \mathrm {Jahr} =B_{k}+B_{k}\cdot 0{,}04$ Entwicklung der Folgeglieder: Jahr k+1 $B_{k}+B_{k}\cdot 0{,}04$ in Millionen Bevölkerung $B_{k+1}$ in Millionen 1 $20+20\cdot 0{,}04$ $20\cdot 1{,}04^{1}=20{,}8$ 2 $20{,}8+20{,}8\cdot 0{,}04$ $20\cdot 1{,}04^{2}=21{,}632$ 3 $21{,}632+21{,}632\cdot 0{,}04$ $20\cdot 1{,}04^{3}=22{,}49728$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ 50 $20\cdot 1{,}04^{49}+20\cdot 1{,}04^{49}\cdot 0{,}04$ $20\cdot 1{,}04^{50}\approx 142$ $B_{k+1}=B_{k}+B_{k}\cdot 0{,}04=B_{k}\cdot 1{,}04=B_{0}\cdot 1{,}04^{k+1}=20\cdot 1{,}04^{k+1}$ $1{,}04$ ist hier der Wachstumsfaktor. Die Ergebnisse der Folgegleichungen ergeben Stützstellen mit exponentiellem Wachstum.

Anmerkung: Ein mit dieser linearen Differenzengleichung berechnetes ungebremstes Wachstum wird es in der Praxis nicht geben, weil andere Einflüsse wie z. B. Nahrungsmittelknappheit dagegen wirken.

Beispiel einer numerischen Berechnung der Kapitalentwicklung mit Zinseszins

Modell: Differenzengleichungen vom Typ $y_{k+1}=f(y_{k})$

Bei der Zinseszinsberechnung handelt es sich um eine konstante Zunahme der jährlichen Zinsen bezogen auf den jeweiligen aktuellen angesparten Betrag einer Folge. Die Kapitalentwicklung vom Anfangskapital über die folgenden Jahre nimmt einen progressiven Verlauf.

Gegeben: Anfangswert = $K_{0}=1000$ € = Kapital zu Beginn Zinsfuß = $p=2$ Zinssatz = $i=2\ \%$ pro Jahr (am Jahresende) Laufzeit = $L=20$ Jahre Schrittweite = $h=1$ Jahr Gesucht: Differenzengleichung, Endkapital Differenzengleichung: $K_{k+1}=K_{k}+K_{k}\cdot i\cdot h$ Wachstumsfaktor: $q={\frac {K_{k+1}}{K_{k}}}=\left(1+{\frac {p}{100}}\right)=1{,}02$ Tabellarische Entwicklung der Folgeglieder $k=0,1,2,\dots 19$: Jahr Kapital zu Beginn des Jahres in € $K_{k}\cdot 1{,}02$ in € Kapital am Jahresende in € 1 $1000$ $1000\cdot 1{,}02$ $1000\cdot 1{,}02=1020$ 2 $1020$ $1020\cdot 1{,}02$ $1000\cdot 1{,}02^{2}=1040{,}40$ 3 $1040{,}40$ $1040{,}40\cdot 1{,}02$ $1000\cdot 1{,}02^{3}=1061{,}208$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ 20 $1000\cdot 1{,}02^{19}\approx 1456{,}81$ $1456{,}81\cdot 1{,}02$ $1000\cdot 1{,}02^{20}\approx 1485,95$ Die allgemeine Zinseszinsformel mit dem Zinsfuß $p$ pro Zeitraum, der Anzahl $n$ der Zeiträume und dem Kapital $K_{n}$ am Ende des $n$-ten Zeitraums lautet also $K_{n}=K_{0}\cdot \left(1+{\frac {p}{100}}\right)^{n}$ und ergibt dann für die Beispielwerte natürlich ebenfalls $K_{20}=1000\cdot (1+0{,}02)^{20}\approx 1485{,}95$.

Anwendungen der Lösung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Differenzenverfahren

Gewöhnliche Differenzialgleichungen, die z. B. ein dynamisches System beschreiben, können nach dem Differenzenverfahren relativ einfach gelöst werden. Dies geschieht dadurch, dass die Differenzialquotienten der Differenzialgleichung direkt durch die verschiedenen Formen der Differenzenquotienten ausgetauscht werden.

Die Differenzenquotienten sind nach den Definitionen der expliziten und impliziten Integrationsverfahren entstanden.

Üblich wird die unabhängige Variable mit $x$ bezeichnet und die abhängige Variable mit $y$ oder $y(x)$. Bei Zeitvorgängen ist $t$ die unabhängige Variable.

Die nachfolgenden Definitionen gelten für dynamische Systeme:

$y_{k}$ ist die Ausgangsgröße des Systems, $u_{k}$ ist die Eingangsgröße des Systems, wird seltener auch als Störfunktion bezeichnet.

Bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen werden die abhängigen Variablen der 1. Ableitung wie folgt geschrieben werden:

$y_{k+1}=y(k+1),\qquad y_{k}=y(k),\qquad y_{k-1}=y(k-1)$

Differenzenquotient nach Euler-Vorwärts:

Bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen kann die erste Ableitung ${\dot {y}}(t)$ der Funktion $y(x)$ duch den vorderen Differenzenquotienten approximiert werden. Der Vorwärts-Differenzenquotient bezieht sich auf die linke Intervallgrenze.

${\dot {y}}(t)={\frac {dy}{dt}}\approx {\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {y_{(k+1)}-y_{(k)}}{\Delta t}}$

Für differenzierende Systeme bezieht sich der Differenzenquotient nach Euler-Vorwärts auf das Eingangssignal $u_{k}$

${\dot {u}}(t)={\frac {du}{dt}}\approx {\frac {\Delta u}{\Delta t}}={\frac {u_{(k+1)}-u_{(k)}}{\Delta t}}$

Differenzenquotient Euler-Rückwärts:

Der Rückwärts-Differenzenquotient bezieht sich auf den rechten Rand der Intervallgrenze.

${\dot {y}}(t)={\frac {du}{dt}}\approx {\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {y_{(k)}-y_{(k-1)}}{\Delta t}}$

Für differenzierende Systeme bezieht sich der Differenzenquotient nach Euler-Rückwärts auf das Eingangssignal $u_{k}$:

${\dot {u}}(t)={\frac {du}{dt}}\approx {\frac {\Delta u}{\Delta t}}={\frac {u_{(k)}-u_{(k-1)}}{\Delta t}}$

Zentraler Differenzenquotient:

Er entspricht dem Mittelwert der Vorwärts- und Rückwärtsdifferenz.

${\dot {y}}(t)={\frac {du}{dt}}\approx {\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {y_{(k+1)}-y_{(k-1)}}{2\cdot {\Delta t}}}$

Für differenzierende Systeme bezieht sich der zentrale Differenzenquotient auf das Eingangssignal $u_{k}$:

${\dot {y}}(t)={\frac {du}{dt}}\approx {\frac {\Delta u}{\Delta t}}={\frac {u_{(k+1)}-u_{(k-1)}}{2\cdot {\Delta t}}}$

Differenzenquotienten 2 Ordnung

Für die Berechnung linearer dynamischer Systeme 2. Ordnung mit konjugiert komplexen Polen werden für den Austausch des Differenzialkoeffizienten 2. Ordnung Differenzenkoeffizienten 2. Ordnung benötigt. Diese unterscheiden wieder nach Euler-Vorwärts, Euler-Rückwärts und dem zentralen Differenzenquotienten.

Differenzenquotient nach Euler-Vorwärts:

${\frac {d^{2}y}{h^{2}}}\approx {\frac {y_{k+2}-2\cdot y_{k+1}+y_{k}}{h^{2}}}$

Differenzenquotient nach Euler-Rückwärts:

${\frac {d^{2}y}{h^{2}}}\approx {\frac {y_{k-2}-2\cdot y_{k-1}+y_{k}}{h^{2}}}$

Euler Zentraler Differenzenquotient:

${\frac {d^{2}y}{h^{2}}}\approx {\frac {y_{k+1}-2\cdot y_{k}+y_{k-1}}{h^{2}}}$

Differenzialgleichungen von linearen dynamischen Systemen

Lineare dynamische Systeme werden üblich als Übertragungsfunktion $G(s)$ beschrieben. Sie gelten für den für "Ruhezustand" des Systems mit dem Anfangswert Null.

Laut der Systemtheorie existieren nur 6 verschiedene Formen von phasenminimalen Übertragungsfunktionen $G(s)$, die einfach oder mehrfach bei dynamischen Systemen vorkommen können. Übertragungsfunktionen haben einen hohen Bekanntheitsgrad. Durch die inverse Laplace-Transformation ergeben sich mit Hilfe des Laplace-Differentiationssatzes Differentialgleichungen 1. und 2. Ordnung als phasenminimale Elementarsysteme.

Ein in der Praxis häufig auftretendes Übertragungssystem ist das Totzeitglied $T_{t}$. Es ist kein lineares System, es kann aber numerisch leicht behandelt werden. Sogenannte nichtreguläre Systeme (Nichtphasenminimum-Systeme) sind instabile Systeme. Auch sie können numerisch behandelt werden.

Tabelle wichtiger regulärer (phasenminimaler) Übertragungsfunktionen in Zeitkonstanten-Darstellung:

Übertragungsfunktion G(s) =	${\frac {1}{T\cdot s}}$	$T\cdot s$	$K_{PD1}(T\cdot s+1)$	${\frac {K_{PT1}}{T\cdot s+1}}$	${\frac {K_{PT2}}{T^{2}s^{2}+2DTs+1}}$	$K_{T_{t}}\cdot e^{-T_{t}\cdot s}$
Sprungantwort $y(t)$ (Übergangsfunktion)
Benennung	I-Glied	D-Glied	PD1-Glied	PT1-Glied	PT2-Glied	Totzeitglied

Übertragungsfunktionen hintereinander geschalteter Systeme kompensieren sich vollständig zu 1, wenn z. B. ein Verzögerungsglied PT1-Glied mit einem "idealen" PD1-Glied hintereinander geschaltet sind. Das gleiche Verhalten muss auch für alle Folgeglieder der Differenzengleichungen gelten.

Differenzengleichungen nach Euler-Rückwärts für 4 Übertragungsglieder G(s)

Differenzialgleichungen können bei linearen dynamischen Systemen aus der Übertragungsfunktion G(s) über die inverse Laplace-Transformation ermittelt werden.

Die numerische Gesamtlösung des Systemverhaltens erfolgt rekursiv über viele Berechnungsfolgen $k=(0;1;2;3;\dotsc ;k_{\mathrm {max} })$ in je kleinen meist konstanten Zeitintervallen als Stützstellen in Annäherung an die analytische Funktion.

Lineare Übertragungssysteme höherer Ordnung werden pro Folge hintereinander durch die systembeschreibenden Differenzengleichungen 1. Ordnung für $k=(0;1;2;3;\dotsc ;k_{\mathrm {max} })$ pro Zeile in tabellarischer Darstellung berechnet. Dabei wird in jeder Folge (Zeile) pro Teilsystem 1. Ordnung die Ausgangsgröße $y_{k}$ zu einer Eingangsgröße $u_{k}$ des nächsten Teilsystems, vorausgesetzt, es handelt sich um eine Reihenschaltung der Teilsysteme. Diese Anordnung der Differenzengleichungen kann auch mit Totzeitsystemen und nichtlinearen Systemen kombiniert werden.

Das Ergebnis ist eine tabellarisch im Rechner gespeicherte Folge von Berechnungswerten (Stützstellen) mehrerer Systeme 1. Ordnung im zeitlichen Abstand $\Delta t$ pro Zeile. Die Werte der Stützstellen mehrerer Teilsysteme lassen sich in Abhängigkeit von dem Eingangssignal $u_{k}$ und der diskreten Zeit grafisch für die Teilsysteme und das Gesamtsystem darstellen.

Die numerische Berechnung erlaubt tabellarisch und grafisch eine völlige Durchsicht des inneren Bewegungsablaufs dynamischer Übertragungssysteme.

Die nachfolgende Berechnung und Aufstellung der Differenzengleichungen gilt für alle phasenminimalen 4 Formen der Übertragungssysteme 1. Ordnung. Diese linearen Systeme kommen einfach und mehrfach in größeren technischen Anlagen vor.

Die nachfolgende Berechnung und Aufstellung der Differenzengleichungen gilt für alle phasenminimalen 4 Formen der Übertragungssysteme 1. Ordnung. Diese linearen Systeme kommen einfach und mehrfach in größeren technischen Anlagen vor. Differenzengleichungen höherer Ordnung entstehen dadurch, dass die Differentialquotienten einer Differentialgleichung höherer Ordnung durch Differenzenquotienten höherer Ordnung näherungsweise ersetzt werden. Die Anwendung einer solchen Differenzengleichung kann algebraisch sehr aufwendig werden.

Differenzengleichung der Integration (I-Glied)

Die Übertragungsfunktion lautet:

$\ G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {1}{T_{I}\cdot s}}$

Die zugehörige Differenzialgleichung lautet:

$T_{I}\cdot {\dot {y}}(t)=u(t)$

Der Differenzenquotient wird an Stelle des Differenzialquotienten ${\dot {y}}(t)$ eingesetzt:

$T_{I}\cdot {\frac {y_{(k)}-y_{(k-1)}}{\Delta t}}=u_{(k)}$

Damit lautet die nach $y_{(k)}$ umgestellte Differenzengleichung des I-Gliedes:

$y_{(k)}=y_{(k-1)}+u_{(k)}\cdot {\frac {\Delta t}{T_{I}}}$

Differenzengleichung des Differenzierers (ideales D-Glied)

Mit der Zeitdiskretisierung wird der Übergang einer Differenzialgleichung in eine Differenzengleichung von einer zeitkontinuierlichen Systembeschreibung in eine Systembeschreibung mit kleinen Zeitintervallen Δt der diskreten Zeit geschaffen. Der Differentialquotient wird durch einen Differenzenquotient ersetzt.

Die Übertragungsfunktion des idealen Differenzierers lautet:

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}=T_{V}\cdot s$

Differenzialgleichung des idealen Differenzierers:

$y(t)=T_{V}\cdot {\frac {d}{dt}}{u(t)}$

Der Differenzialquotient ${\dot {u}}(t)$ wird durch einen Differenzenquotient mit der Anpassung an die linke Intervallgrenze ersetzt. Für eine Anpassung an die rechte Intervallgrenze steht der Wert u_(k+1) nicht zur Verfügung.

${\dot {u}}(t)={\frac {du}{dt}}\approx {\frac {\Delta u}{\Delta t}}={\frac {u_{(k)}-u_{(k-1)}}{\Delta t}}$

Differenzengleichung der Differentiation (Ideales D-Glied)

$y_{(k)}=(u_{(k)}-u_{(k-1)})\cdot {\frac {T_{V}}{\Delta t}}$

Differenzengleichung der Verzögerung (PT1-Glied)

Rechteck-Approximation eines PT1-Gliedes durch Berechnung mit einer Differenzengleichung.

Vergleiche Bild nach Prof. Dipl.-Ing Manfred Ottens, Systemtheorie, FH-Berlin.

Übertragungsfunktion des PT1-Gliedes

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {K_{PT}}{1+s\cdot T_{1}}}={\frac {\frac {K_{PT}}{T_{1}}}{s+{\frac {1}{T_{1}}}}}$

Zugehörige Differenzialgleichung

${\dot {y}}(t)+{\frac {1}{T_{1}}}\cdot y(t)={\frac {K_{PT}}{T_{1}}}\cdot u(t)$

Der Differenzialquotient der Differenzialgleichung wird durch den Differenzenquotient ersetzt mit folgendem Ansatz:

${\frac {y_{(k)}-y_{(k-1)}}{\Delta t}}+{\frac {1}{T_{1}}}\cdot y_{(k)}={\frac {K_{PT}}{T_{1}}}\cdot u_{(k)}$

Diese Gleichung wird nach y_(k) aufgelöst.

$y_{(k)}+{\frac {\Delta t}{T_{1}}}\cdot y_{(k)}=y_{(k-1)}+{\frac {K_{PT}\cdot \Delta t}{T_{1}}}\cdot u_{(k)}$

Die Differenzengleichung des PT1-Gliedes lautet:

$y_{(k)}={\frac {T_{1}}{T_{1}+\Delta t}}\cdot y_{(k-1)}+{\frac {\Delta t\cdot K_{PT}}{T_{1}+\Delta t}}\cdot u_{(k)}$

Differenzengleichung des PT1-Gliedes in vereinfachter Schreibweise mit identischer mathematischer Funktion:

$y_{(k)}=y_{(k-1)}+(K_{PT}\cdot u_{(k)}-y_{(k-1)})\cdot {\frac {\Delta t}{T_{1}+\Delta t}}$

Differenzengleichung der Proportional-Differenzialfunktion (Ideales PD1-Glied)

Übertragungsfunktion PD1-Glied:

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}=K_{PD}\cdot (T_{V}\cdot s+1)$

Die zugehörige Differenzialgleichung lautet:

$y(t)=K_{PD}\cdot T_{V}\cdot {\dot {u}}(t)+K_{PD}\cdot u(t)$

Der Differenzialquotient der Differenzialgleichung wird ersetzt durch den Differenzialalgorithmus mit folgendem Ansatz:

$y_{(k)}=K_{PD}\cdot T_{V}\cdot {\frac {u_{(k)}-u_{(k-1)}}{\Delta t}}+K_{PD}\cdot u_{(k)}$

Die Differenzengleichung des idealen PD1-Gliedes lautet:

$y_{(k)}=K_{PD}\cdot [u_{(k)}+(u_{(k)}-u_{(k-1)})\cdot {\frac {T_{V}}{\Delta t}}]$

Anmerkung: Differenzierende Systeme ohne sogenannte parasitäre Zeitkonstanten von PT1-Gliedern lassen sich als Hardware technisch nicht herstellen. Die parasitäre Zeitkonstante ist wesentlich kleiner, als die Zeitkonstante des Differenzierers. Dennoch kann man numerisch mit idealen Differenzierern rechnen, dabei ist die Größe des Impulses der Sprungantwort umgekehrt proportional der Größe von Δt. Erst bei der energetischen Bereitstellung als Stellgröße in einem Regelkreis ergibt sich durch die nachgeschaltete Hardware eine unvermeidbare Zeitverzögerung.

Vor- und Nachteile des Eulerverfahrens

Die Berechnung von Differenzengleichungen nach Euler-Vorwärts oder Euler-Rückwärts sind in Bezug auf die Genauigkeit praktisch identisch.

• Mit dem Verfahren Euler-Rückwärts kann ein Eingangssignal als Impulsfunktion (Stoßfunktion) für $t=0$ und der Dauer $h$ erfasst und berechnet werden. Mit dem Euler-Vorwärts-Verfahren steht für die Berechnung des 2. Folgegliedes das Eingangssignal, die Impulsfunktion, nicht mehr zur Verfügung. Alle Folgeglieder werden zu Null.
• Mit zunehmender Verringerung der Schrittweite $h$ und mit gegebenem Eingangssignal gleichen sich die die Funktionen beider Eulerverfahren an.

Differenzengleichungen als Funktion der Ober- und Untersumme

Definition der Obersumme und Untersumme der numerischen Integration.

In der numerischen Mathematik bedeuten die Flächen der Rechteckapproximation an eine gegebene analytische Funktion dann als Obersumme, wenn die Oberkante der Rechtecke oberhalb der analytischen Funktion anstößt. Umgekehrt handelt es sich um die Untersumme, wenn die Oberkante der Rechtecke unterhalb der analytischen Funktion anstößt. Für die numerische Berechnung interessiert nicht die Fläche der Rechtecke, sondern die Lage des Verlaufs der Stützstellen der Oberkante der Rechtapproximation.

Ein Wert einer Differenzengleichung nach der Obersumme zum Zeitpunkt $k=0;T_{A}=0$ ist differenzierbar. Der Funktionsunterschied der Obersumme zur Untersumme bedeutet beispielsweise, dass ein Eingangssignal als einzelner $\delta$-Impuls zum Zeitpunkt t = 0 und Folge k = 0 in einem zeitdiskreten dynamischen System für den Zeitraum $T_{A}$ – also zwischen $k=0$ und $k=1$ – wirksam wird. Differenzengleichungen nach der Untersumme können diesen $\delta$-Impuls nicht erfassen.

Die Wertefolge der mit Differenzengleichungen berechneten Ausgangsfolge der Funktion der Untersumme unterscheiden sich von denen der Obersumme, dass die Wertefolge der Untersumme um einen Folgeschritt verzögert ist.

Differenzengleichung höherer Ordnung

Beispiel der Entwicklung einer Differenzengleichung‘‘‘ zur Berechnung der Sprungantwort eines $PT2_{kk}$-Gliedes mit konjugiert komplexen Polen:

Nach erfolgtem Einsetzen der Differenzenquotienten anstelle der Differenzialquotienten der Differenzialgleichung eines dynamischen Systems 1. Und 2. Ordnung lässt sich die so geschaffene Differenzengleichung lösen.

Sprungantwort eines PT2-Gliedes mit konjugiert komplexen Polen. Δt = 0,01 s.
$0{,}25{\ddot {y}}(t)+0{,}125{\dot {y}}(t)+y(t)=1(t)$

Gegeben: Übertragungsfunktion im s-Bereich: $G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {1}{0{,}25s^{2}+0{,}125s+1}}$ Sprungfunktion: u(t)=1 Gesucht: Differenzengleichung $y_{(k)}$ 2. Ordnung zur numerischen Bestimmung des System-Zeitverhaltens. Zugehörige Differentialgleichung nach dem Differentiationssatz der Laplace-Transformation: $0{,}25{\ddot {y}}(t)+0{,}125{\dot {y}}(t)+y(t)=u(t)$ Die Differenzenquotienten für ${\ddot {y}}(t)$ und ${\dot {y}}(t)$ werden in die nachfolgende Differenzengleichung eingesetzt: $0{,}25\cdot {\frac {y_{(k)}-2y_{(k-1)}+y_{(k-2)}}{h^{2}}}+0{,}125\cdot {\frac {y_{(k)}-y_{(k-1)}}{h}}+y_{k}=u_{k}\quad |\qquad y(t)\to y_{(k)};\ u(t)\to u_{(k)}$ Die Brüche werden in einzelne additive Terme aufgelöst, um $y_{(k)}$ freistellen zu können, Hilfsgröße $\psi$ eingeführt: $y_{(k)}{\bigg (}{\frac {0{,}25}{h^{2}}}+{\frac {0{,}125}{h}}+1{\bigg )}:=y_{(k)}\cdot \psi =u_{(k)}+{\frac {0{,}5y_{(k-1)}}{h^{2}}}-{\frac {0{,}25y_{(k-2)}}{h^{2}}}+{\frac {0{,}125y_{(k-1)}}{h}}$ $y_{(k)}={\frac {u_{(k)}}{\psi }}+{\frac {0{,}5y_{(k-1)}}{\psi \cdot h^{2}}}-{\frac {0{,}25y_{(k-2)}}{\psi \cdot h^{2}}}+{\frac {0{,}125y_{(k-1)}}{\psi \cdot h}}\quad {\bigg |}\qquad \psi ={\frac {0{,}25}{h^{2}}}+{\frac {0{,}125}{h}}+1;\quad u_{(k)}=1$ Berechnungsbeispiel für einige Werte der Ausgangsfolge $y_{(k)}$ mit $h=0{,}01;\ \psi =2513{,}5;$ Sprung $u_{(k)}=1$: $t_{0}=0{,}00\,\mathrm {s} ;\qquad y_{(k=0)}=0{,}0004+0-0+0=0{,}0004$. $t_{1}=0{,}01\,\mathrm {s} ;\qquad y_{(k=1)}=0{,}0004+0{,}0008-0+0=0{,}0012$. $t_{2}=0{,}02\,\mathrm {s} ;\qquad y_{(k=2)}=0{,}0004+0{,}0024-0{,}0004+0=0{,}0024$. $t_{157}=1{,}57\,\mathrm {s} ;\qquad y_{(k=157)}=0{,}0004+3{,}286-1{,}643+0{,}008=1{,}652$.

Diese Differenzengleichung entspricht einem Rekursionsalgorithmus eines dynamischen Systems, der schrittweise mit einem Personal-Computer gelöst werden kann.

Die rekursive Berechnung der Differenzengleichung 2. Ordnung bezieht sich für die aktuelle Ausgangsfolge $y_{(k)}$ durch Einsetzen der zurückliegenden Werte der Ausgangsfolge $u_{(k-1)}$ und $u_{(k-2)}$ in die Gleichung. Für das 1. Folgeglied der Berechnungsfolge k=0 sind die zurückliegenden Werte der Ausgangsfolge noch nicht verfügbar und damit Null. Die Anzahl $k=(0,1,2,3,\dotsc ,k_{\mathrm {max} })$ der Glieder der Ausgangsfolge wird durch die diskrete Zeit $h=\Delta t$ und durch die gewünschte zu beobachtende Gesamtzeit des Einschwingvorgangs bestimmt.

Testsignale

Den nichtperiodischen (deterministischen) Testsignalen kommt in der Systemtheorie eine zentrale Bedeutung zu. Mit ihrer Hilfe ist es möglich, ein Übertragungssystem zu testen, auf Stabilität zu prüfen oder Eigenschaften zu ermitteln.

$\to$ siehe Regelstrecke#Testsignale

Genauigkeit der numerischen Berechnung durch die Eulerverfahren

• Der Approximationsfehler an eine analytische Funktion nach Euler-Vorwärts oder Euler-Rückwärts fällt linear mit fallender Schrittweite $h$. Ist $h=0,001$, dann beträgt der Approximationsfehler etwa 0,1 %.
• Der Approximationsfehler an eine analytische Funktion nach dem "Zentralen Euler-Verfahren" fällt mit dem Quadrat von $h$.
• Der Rundungsfehler muss berücksichtigt werden, wenn die Folgeglieder nicht mit ausreichender Stellengenauigkeit berechnet werden. Anderenfalls addieren sich die Rundungsfehler mit jedem Folgeglied.
• Differenzengleichungen 2. Ordnung als Schwingungsglieder

Differenzengleichungen 2. Ordnung, die dynamische Systeme im Zeitbereich beschreiben, stellen sich für eine Dämpfung $0<D<1$ mit konjugiert komplexen Polen als Schwingungsglied dar. Solche Systeme enthalten gedämpfte sinusförmige Schwingungen, die mit schnellen Anstiegs- und Abfallgeschwindigkeiten auftreten. Für die Betrachtung der Genauigkeit der Approximation ist maßgebend, wie viel Folgen innerhalb der ersten Schwingung mit dem steilsten Gradienten stattfinden.

Die größte Änderungsgeschwindigkeit einer gedämpften sinusförmigen Schwingung liegt beim 1. Nulldurchgang und vermindert sich mit jedem weiteren Nulldurchgang.

In grober Annäherung an die analytische Funktion mit der Asymptote 1 sollte der ersten positiven Halbwelle eine Auflösung von mehr als 100 Folgen mit $>100\cdot \Delta t$ gegeben werden. Der zu erwartende maximale Approximationsfehler für $y_{(k)}=f(\Delta t=0{,}003)$ liegt bei ca. 1 %.

Die Anzahl der Folgen für einen zu betrachtenden Zeitraum $k_{\mathrm {max} }\cdot \Delta t$ hat keinen Einfluss auf die Genauigkeit.

Nichtlineare Übertragungssysteme

Relativ einfache Übertragungssystem-Strukturen mit nichtlinearen Elementen sind durch konventionelle Rechenmethoden im kontinuierlichen Zeitbereich nicht mehr geschlossen lösbar.

Allgemeine Darstellung eines nichtlinearen Übertragungsgliedes nach dem Hammerstein-Modell

Nach dem Hammersteinmodell wird das nichtlineare Systemverhalten in ein statisches nichtlineares Model in Verbindung als Reihenschaltung mit einem linearen dynamischen System betrachtet.

Maßnahmen zur Linearisierung nichtlinearer Übertragungssysteme:

• Begrenzungseffrkte: Nachbildung der Begrenzung mit logischen Anweisungen,
• Nichtlineare Kennlinie: Anwendung eines Modellregelkreises zwingt zur Linearität,
• Nichtlinearität: durch logische Befehle wie logische Anweisungen z. B. IF-THEN-ELSE-Anweisungen oder Tabellen, die die statische Nichtlinearität beschreiben.
• Systemtotzeit $Tt$: Berechnung eines Annäherungsmodells mit Verzögerungen höherer Ordnung oder Allpassglieder,

Speicherung von Folgegliedern mit Zugriff auf zeitlich mit $Tt$ zurückligende Folgeglieder.

• Hysterese: Die nichlineare Funktion wird in Tabellen gespeichert.

$\to$ siehe auch Bild Regelungstechnik#Nichtlineares Übertragungssystem

$\to$ siehe auch Totzeit (Regelungstechnik)#Annäherung an das Verhalten eines Totzeitgliedes durch PTn-Glieder als Ersatztotzeit

z-Übertragungsfunktion

Wendet man den Rechtsverschiebungssatz der z-Transformation auf Differenzengleichungen an, so erhält man daraus direkt als Verhältnis der z–Transformierten von Eingangs- und Ausgangsfolge die z–Übertragungsfunktion des diskreten Systems. Zu der Anwendung mit linearen Systemen folgende Informationen:

• Die Differenzengleichungen $y_{(k)}$ können ausschließlich mit Hilfe des Linearitätssatzes und Verschiebungssatzes in den komplexen z-Bildbereich und in die z-Übertragungsfunktionen $G(z)=Y(z)/U(z)$ überführt werden.
• Gegebene Übertragungsfunktionen des s-Bereiches in Verbindung mit Haltegliedern und Abtastelementen können ebenfalls mit Hilfe der z-Korrespondenztabellen als z-Übertragungsfunktion transformiert werden.
• Die z-Übertragungsfunktion lautet:

$G(z)={\frac {Y(z)}{U(z)}}={\frac {{\text{Zählerpolynom}}\ (z)}{{\text{Nennerpolynom}}\ (z)}}$.

• Die Rücktransformation von der z-Übertragungsfunktion in den zeitdiskreten Bereich als Differenzengleichung erfolgt durch den invers angewendeten Linearitätssatz und Verschiebungssatz für alle einzelnen Terme.

Anwendung der z-Übertragungsfunktion in einem Regelkreis

Siehe auch z-Transformation#Anwendung der z-Übertragungsfunktion für einen digitalen PI-Regler mit Abtastfunktion und Halteglied.

Es können sowohl abgetastete Eingangssignale u(kT_A) als auch Differenzengleichungen f(kT_A), die im diskreten Zeitbereich das Verhalten eines Systems (z. B. den Regelalgorithmus eines Reglers) beschreiben, als z-Übertragungsfunktionen in den z-Bereich transformiert und als algebraische Gleichungen behandelt werden.

Wird eine inverse z-Transformation der z-Übertragungsfunktionen durchgeführt, entsteht die Lösung der zeitdiskreten Differenzengleichung $f_{(k)}={\mathcal {Z}}^{-1}\{F(z)\}$ im $f(kT_{A})$-Bereich. Mit Hilfe verschiedener Verfahren der Rücktransformation vom z-Bereich in den zeitdiskreten k-Bereich ergeben sich dann als Lösung die Differenzengleichungen des Regelalgorithmus für den diskreten Bereich f(kT_A).

Die typische Anwendungsprozedur der z-Transformation an einem digitalen Systems, einem digitalen Regler oder einem digitalen Filter lautet für den Regelalgorithmus wie folgt:

• Die Abtastfolge des Eingangssignals (Eingangsfolge) wird transformiert als z-Übertragungsfunktion $H(z)$,
• Die Differenzengleichung $f_{(k\cdot T_{A})}$ des gewünschten Reglerverhaltens wird transformiert als z-Übertragungsfunktion $G(z)$,
• Die z-transformierten Systeme werden algebraisch entsprechend den z-Rechenregeln zusammengefasst,
• Mit der inversen z-Transformation des z-Produktes von Signal und Regelalgorithmus entsteht der Berechnungsalgorithmus des digitalen Reglers (Mikro Computers) wieder als Differenzengleichung.

Die Analyse und die Synthese diskreter Signale und Systeme lässt sich mit der z-Transformation erleichtern, setzt aber auch umfangreiches mathematisches Spezialwissen voraus, dass zum Teil auf ähnliche Regeln wie bei der Laplace-Transformation aufgebaut ist.

$\to$ Siehe Artikel z-Transformation.

Differenzengleichungen in der Ökonomie

In der ökonomischen Theorie kommen Differenzengleichungen vor allem zum Einsatz, um die Entwicklung ökonomischer Größen über die Zeit zu analysieren. Vor allem in der Wachstumstheorie und Konjunkturtheorie werden zeitliche Abläufe vielmals in Form von Differenzengleichungen abgebildet.

Man geht dabei davon aus, dass z. B. das Bruttoinlandsprodukt sich auf einem bestimmten Pfad hin zu einem langfristigen Gleichgewicht entwickelt, in dem alle Kapazitäten ausgelastet sind. Je nach Lösung der Differenzengleichung ergibt sich der Entwicklungspfad als asymptotischer Verlauf oder als schwingender Verlauf (in etwa Kosinus-Kurven). Es bleibt aber nicht aus, dass zur mathematischen Modellierung (z. B. beim Bruttoinlandsprodukt) einige vereinfachende Annahmen gemacht werden müssen (z. B. über die Lagerbildung, Konsum als Anteil des BIP oder Investitionssteigerung durch Gewinnerwartung).

• Anwendung von Differenzengleichung 1. Ordnung

Ein weiteres klassisches Beispiel ist das Spinnwebtheorem (auch cobweb theorem). Die Entwicklung der Preise und Mengen folgt rekursiven Funktionen oder, mathematisch ausgedrückt, allgemeinen Differenzengleichungen erster Ordnung.

• Anwendung von Differenzengleichung 2. Ordnung

Das Multiplikator-Akzelerator-Modell will erklären, warum das wirtschaftliche Wachstum nicht monoton verläuft, sondern typischerweise einem Konjunkturzyklus folgt. Das Modell lässt sich aus dem Wachstumsmodell von Harrod und Domar heraus entwickeln, eine besondere Variante stammt von Paul A. Samuelson (1939) und John Richard Hicks (1950).

Siehe auch

• Erzeugende Funktion
• Differenzenrechnung
• Numerical Recipes Programme zur Lösung von Differentialgleichungen in gängigen Programmiersprachen

Literatur

• May-Britt Kallenrode: Rechenmethoden der Physik: Mathematischer Begleiter zur Experimentalphysik, Springer, 2005
• Paul Cull, Mary Flahive, Robby Robson: Difference equations. From Rabbits to Chaos, Springer, Undergraduate Texts in Mathematics, 2005
• Holger Lutz, Wolfgang Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik mit MATLAB und Simulink. 11. Auflage. Europa-Lehrmittel, 2019, ISBN 978-3-8085-5869-0. 
• Gerd Schulz: Regelungstechnik 2 / Mehrgrößenregelung, Digitale Regelungstechnik, Fuzzy-Regelung. 2. Auflage. Oldenbourg, 2008, ISBN 978-3-486-58318-2. 
• Jan Lunze: Regelungstechnik 2, Mehrgrößensysteme, Digitale Regelung. 7. Auflage. Springer Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-10197-7. 
• Krause, Nesemann: Differenzengleichungen und diskrete dynamische Systeme. Eine Einführung in Theorie und Anwendungen. 1999. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, 1999, ISBN 978-3-519-02639-6. 
• Alan V. Oppenheim, R. W. Schafer: Zeitdiskrete Signalverarbeitung. Pearson Education, Upper Saddle River, N. J. 2004, ISBN 3-8273-7077-9. 

Weblinks

Wikibooks: Lineare Rekurrenzen, Potenzreihen und ihre erzeugenden Funktionen – Lern- und Lehrmaterialien

• 13. Differenzengleichungen. Kapitel über Differenzengleichungen mit mathematischen Beispielen, Uni Greifswald (PDF; 52 kB).

Einzelnachweise