N-esfera

La hiperesfera en el espacio euclídeo de dimensión 3, es la 2-esfera.

En matemática, una n-esfera (o hiperesfera) es la generalización de la «esfera» a un espacio euclídeo de dimensión arbitraria. En otras palabras, la n-esfera es una hipersuperficie del espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{n+1}\$, notada en general $\mathbb {S} ^{n}\$. Constituye uno de los ejemplos más sencillos de variedad matemática.

Definición

Dado un espacio euclídeo E de dimensión n+1, A un punto de E, y R un número real estrictamente positivo, se le llama hiperesfera de centro A y radio R al conjunto de puntos M tales que su distancia a A vale exactamente R.

La n+1-tupla de puntos (x₁,x₂,…,x_n+1) que están en una n-esfera (Sⁿ) se representa con la ecuación:

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n+1}^{2}=R^{2}~$,

donde el centro es el origen de coordenadas O (0,0,...,0).​ Teniendo como datos un punto fijo $P=(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})\,$ llamado centro y el radio R, real positivo, siendo $X=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\,$ un punto cualquiera de la hiperesfera, la ecuación correspondiente es,​​

${\sqrt {(x_{1}-p_{1})^{2}+(x_{2}-p_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-p_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-p_{i})^{2}}}=R.$

o escrito en forma vectorial, como:

$\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|=R$

Ejemplos:

• Para n=0, la hiperesfera consta de dos puntos de coordenadas R y -R.
• Para n=1, la hiperesfera es una circunferencia.
• Para n=2, la hiperesfera es la esfera usual.

Propiedades

Volumen

El volumen del espacio delimitado por una hiperesfera de dimensión n-1 y de radio R, que es una bola euclídea de dimensión n viene determinado por:

(1)$V_{n}={\pi ^{n/2}R^{n} \over \Gamma (n/2+1)}\ \ ,$

donde $\Gamma$ es la función gamma.

Nótese la particularidad de que $V_{n}$ se incrementa desde n=1 hasta un máximo y luego comienza a disminuir y tiende a cero cuando n tiende a infinito. En el caso que R=1 el volúmen máximo se obtiene cuando n=7.

Por ejemplo, el volumen de una hiperfesfera, de radio R, en el espacio cuadridimensional aplicando la fórmula (1) para n=4 resulta

$V_{4}={\frac {\pi ^{2}R^{4}}{2}}$ .

N-bola

Véase también: Bola (matemática)

El espacio encerrado por una (n-1)-esfera es una n-bola. Una n-bola es cerrada si incluye la (n-1)-esfera y abierta en caso contrario.

Ejemplos:

• La 1-bola es un segmento de recta, el interior de una 0-esfera.
• La 2-bola es un disco, el interior de una circunferencia (1-esfera).
• La 3-bola es la bola ordinaria, el interior de una esfera (2-esfera).

Véase también

• 3-esfera
• Bola (matemática)
• Disco

Enlaces externos

• Hypersphere en Planetmath.
• Weisstein, Eric W. «Hypersphere». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.