Serie (matemática)

En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma aplicada a los términos de una sucesión matemática. Informalmente, es el resultado de sumar los términos:

S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+\cdots

lo que suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio:

S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}

El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un paso al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.

S=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots

Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.

Tipos de series

Sumas parciales

Para cualquier sucesión matemática $\{a_{n}\}$ de números racionales, reales, complejos, funciones, etc., la serie asociada se define como la suma formal ordenada:

S=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots

La sucesión de sumas parciales $\{S_{k}\}\$ asociada a una sucesión $\{a_{n}\}\$ está definida para cada $k\$ como la suma de la sucesión $\{a_{n}\}\$ desde $a_{1}\$ hasta $a_{k}\$ :

S_{k}=\sum _{i=1}^{k}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}

Muchas de las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos de las sumas parciales asociadas.

Convergencia

Por definición, la serie $\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}$ converge al límite $L\$ si y sólo si la sucesión de sumas parciales asociada $S_{k}$ converge a $L\$ . Esta definición suele escribirse como

L=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\quad \Leftrightarrow \quad L=\lim _{k\rightarrow \infty }S_{k}

Ejemplos

Una serie geométrica es aquella en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón r. En este ejemplo, la razón r = 1/2:

S=1+{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1}{4}}+{\cfrac {1}{8}}+{\cfrac {1}{16}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {1}{2^{n}}}

En general, una serie geométrica es convergente, sólo si |z| < 1, a:

S=\sum _{n=0}^{\infty }az^{n}={\cfrac {a}{1-z}}

La serie armónica es la serie

S=1+{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1}{3}}+{\cfrac {1}{4}}+{\cfrac {1}{5}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\cfrac {1}{n}}

La serie armónica es divergente.

Una serie alternada es una serie donde los términos cambian de signo:

S=1-{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1}{3}}-{\cfrac {1}{4}}+{\cfrac {1}{5}}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\cfrac {1}{n}}

Una serie telescópica es la suma $\textstyle \sum a_{n}$ , donde a_n = b_n − b_n+1:

S=\sum _{n=0}^{N}(b_{n}-b_{n+1})

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

S_{N}=(b_{0}-b_{1})+(b_{1}-b_{2})+\cdots +(b_{N-1}-b_{N})+(b_{N}-b_{N+1})=b_{0}-b_{N+1}

Una serie hipergeométrica es una serie de la forma:

S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\quad {\text{con}}\quad {\cfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\cfrac {\alpha n+\beta }{\alpha n+\gamma }}

Convergencia de series

Artículo principal: Criterio de condensación de Cauchy

Véanse también: Serie convergente y Serie divergente.

Una serie $\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}$ se dice que es convergente (o que converge) si la sucesión S_N de sumas parciales tiene un límite finito. Si el límite de S_N es infinito o no existe, se dice que la serie diverge. Cuando este límite existe, se le llama suma de la serie.

S=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}a_{i}

Si todos los a_n son cero para n suficientemente grande, la serie se puede identificar con una suma finita. El estudio de la convergencia de series, se centra en las propiedades de las series infinitas que incluyen infinitos términos no nulos. Por ejemplo, el número periódico

Sn = 0.111111...

tiene como representación decimal, la serie

S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}

Dado que estas series siempre convergen en los números reales (ver: espacio completo), no hay diferencia entre este tipo de series y los números decimales que representan. Por ejemplo, 0.111… y ¹/₉; o bien 1=0,9999...