Renormalización

Figura 1. Renormalización en electrodinámica cuántica: la simple interacción entre fotón-electrón que determina la carga del electrón, en un determinado punto renormalizado se releva con más complicadas interacciones que en otro.

En Teoría cuántica de campos y otras áreas, la renormalización se refiere a un conjunto de técnicas usadas para obtener términos finitos en un desarrollo perturbativo. La renormalización es importante porque en teoría cuántica de campos no se conoce la manera de calcular ciertas magnitudes de otra manera que no sea una serie formal de potencias. El problema es que algunos de los términos de la serie pueden resultar divergentes en el límite de altas energías, aun cuando físicamente los valores observados son finitos. Esto parece un problema asociado al uso de series perturbativas, y supuestamente algunos métodos no perturbativos no conocidos resolverían el problema. Por tanto, la renormalización es necesaria ya que hoy por hoy no se conoce como hacer los cálculos sin series perturbativas.

Introducción

Estos procedimientos tienen que ver con los problemas que surgen de pasar a un límite continuo y tienen que ver con la autointeracción de un campo consigo mismo. Más concretamente, cuando se describe un sistema físico de manera aproximada mediante una red discreta de puntos ciertas cantidades están bien definidas, sin embargo, al pasar al límite continuo de forma "cruda" considerando una infinidad de puntos, las cantidades están mal definidas matemáticamente. Es decir, sobre un espacio-tiempo definido como una retícula de puntos numerable, la teoría da resultados fintios pero al hacer disminuir la distancia mínima entre puntos hacia cero, algunos términos se disparan a infinito. La renormalización consiste en un conjunto de procedimientos de calcular el límite continuo de manera alternativa de manera que las todas las cantidades estén bien definidas y no den lugar a términos infinitos.

Cuánticamente no resulta posible medir el valor del campo con infinita precisión en un punto del espacio, sino sólo en una región muy pequeña pero no de volumen nulo. De hecho la magnitud observable ligada a un campo físico es una distribución definda sobre funciones de soporte compacto cuyos valores son operadores de campo. En el caso de teorías de campo libre (sin autointeracciones) este hecho no causa problemas serios y se puede construir un formalismo no perturbativo. Sin embargo, para un campo con interacción nadie sabe como formular una teoría exacta del campo, por lo que el procedimiento común es considerar un desarrollo perturbativo respecto a la teoría del campo libre (sin interacción).​ Y en ese caso, resulta inevitable considerar productos de operadores de campo en el mismo punto del espacio, lo cual es una operación que matemáticamente no está bien definida en todos los casos.

Teorías de gauge

Una propiedad importante de las teorías de campo recalibrado es que tienen la propiedad de ser renormalizables, es decir, existe una técnica bien definida que da lugar a términos finitos (además experimentalmente varias de estas teorías renormalizables se han comprobado no sólo correctas sino numéricamente muy precisas). El hecho de que se tenga un procedimiento claro de renormalización para teorías de recalibración, ha hecho que este tipo de teorías de campo hayan sido extensivamente estudiados, ya que mediante renormalización permiten obtener respuestas finitas contrastables con los experimentos.

La renormalización determina la relación entre los parámetros de la teoría, cuando los parámetros que describen el comportamiento para grandes distancias difieren del los parámetros que describen el comportamiento a pequeñas distancias. La renormalización fue desarrollada inicialmente para la electrodinámica cuántica (QED) con el objetivo de dar sentido a los valores infinitos de ciertas integrales obtenidas mediante teoría de perturbaciones a partir del caso del campo libre. Si bien inicialmente, se vio como un procedimiento sospechoso, y físicos como Paul Dirac la criticaron, por lo que fue visto como un procedimiento no riguroso y provisional, con el tiempo la propiedad de er renormalizable por dicho procedimiento acabó siendo considerado como un importante indicio de la autoconsistencia y adecuación de una teoría de campos, tanto desde el punto de vista físico como matemático.

Planteamiento e historia del problema

Autointeracción en física clásica

El problema de la aparición de infinitos debido a la autointeracción ya surgió en ciertos problemas de elecrodinámica clásica de partículas puntuales a finales del siglo XIX y principios del siglo XX. De acuerdo con la teoría de la relatividad especial se pensó que la masa de una partícula cargada debería incluir la masa-energía del campo electroestático (masa electromagnética). Asumiendo que la partícula es una cáscara esférica cargada de radio r_e, la masa energía del campo es:

$m_{\mathrm {em} }=\int {1 \over 2}E^{2}\,dV=\int _{r_{e}}^{\infty }{\frac {1}{2}}\left({q \over 4\pi r^{2}}\right)^{2}4\pi r^{2}\,dr={q^{2} \over 8\pi r_{e}},$

Esta masa tienda infinito en el límite r_e → 0. Esto implicaría que una partícula perfectamente puntual tendría una inercia infinita y por tanto no podría ser acelerada. El radio clásico del electrón es precisamente el valor de r_e para el cual la masa anterior coincide con la masa de un electrón, escogiendo además $q=e$. Restaurando los factores c y $\varepsilon _{0}$ la expresión del radio clásico viene dada por:

$r_{e}={e^{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}m_{\mathrm {e} }c^{2}}=\alpha {\hbar \over m_{\mathrm {e} }c}\approx 2.8\times 10^{-15}\ \mathrm {m} .$

donde $\alpha \approx 1/137$ es la constante de estructura fina y $\hbar /m_{\mathrm {e} }c$ es la longitud de onda Compton del electrón.

La masa total efectiva de una partícula esférica incluye la masa neta de la cáscara esférica (además del la masa anteriormente mencionada sasociada a su campo eléctrico). Si se permite que la masa de la cáscara esférica sea negativa, sería posible desarrollar un punto límite consistente​. Esto es lo que se llama renormalización. H. Lorentz y M. Abraham intentaron desarrollar una teoría clásica de campos para el electrón, usando esa idea. Este trabajo pionero inspiró trabajos posteriores relacionados con la regularización y la renormalización en teoría cuántica de campos.

Cuando se calcula la interacción electromagnética entre partículas cargadas eléctricamente, resulta tentador ignorar la retrorreacción de una partícula del propio campo de la partícula sobre ella misma. Pero esta retrorreacción es necesaria para explicar el efecto de frenado de partículas cargadas que emiten radiación. Si se asume que el electrón es una partícula perfectamente puntual, el valor de la retrorreacción resulta infinito, y por la misma razión su masa electromagnética no es finita, porque el campo sigue una ley de la inversa del cuadrado.

La teoría de Abraham-Lorentz tiene consecuencias no causales conocidas como "preaceleración". A veces el electrón empieza a moverse antes de que la fuerza se aplique, esta caracterítica es un signo de inconsitencia. El problema es peor en la electrodinámica clásica que en la electrodinámica cuántica, debido a que en el caso cuántico una partícula cargada experimenta un Zitterbewegung debido a la autointeracción con pares de partícula-antipartícula.

El caso de electrodinámica cuántica (QED)

Figure 2. A diagram contributing to electron-electron scattering in QED. The loop has an ultraviolet divergence.

Polarización del vacío o apantallamiento de la carga. Este diagrama contiene un ciclo cerrado que conlleva una divergencia ultravioleta de tipo logarítmico.

Diagrama de autointeracción en QED.

La electrodinámica cuántica fue el primer caso exitoso de teoría cuántica de campos renormalizable y su desarrolloso supuso la creación en paralelo de la idea de renormalización que luego fue aplicada a otras teorías cuánticas de campos. Cuando se desarrolló la electrodinámica cuántica durante los años 1930, Max Born, Werner Heisenberg, Pascual Jordan y Paul Dirac descubrieron que los cálculos perturbativos daban lugar a integrales que divergían a infinito.

La manera de describir esas divergencias se basó en el trabajo de Ernst Stueckelberg (ya en los años 1930), y casi una década más tarde por Julian Schwinger, Richard Feynman, y Shin'ichiro Tomonaga. Finalmente todos estos trabajos fueron sistematizados por Freeman Dyson. Las divergencias aparecen en los cálculos basados en diagramas de Feynman con ciclos cerrados (closed loops) asociados a partículas virtuales de la teoría. Aunque estas partículas virtuales obdecen las leyes de conservación de la energía y la cantidad de movimiento, pueden asumir cualquier energía y momento, incluso un valor que no está permitido por la relación relativista momento-energía (es decir, $\scriptstyle {\sqrt {E^{2}-p^{2}c^{2}}}/c^{2}$ no es exactamente igual a la masa de la partícula que participa en dicho proceso. Así por ejemplo, para un fotón virtual la cantidad anterior podría no ser cero, lo cual equivale a que tuviera masa. Una partícula con una relación anómala entre energía y momento se denomina partícula off-shell (ya que en el espacio cuatridimensional formado por (E,px,py,pz) sólo una "cáscara" (shell) de puntos satisface la relación $\scriptstyle m={\sqrt {E^{2}-p^{2}c^{2}}}/c^{2}=m^{2}$ ).