Figure isogonale

En géométrie, un polytope (un polygone ou un polyèdre, par exemple) est dit isogonal si tous ses sommets sont identiques. Autrement dit, chaque sommet est entouré du même type de face dans le même ordre et avec les mêmes angles entre les faces correspondantes.

Techniquement, pour un couple quelconque de sommets il existe une symétrie faisant correspondre le premier au second de manière isométrique.

Polygone isogonal

Tous les polygones réguliers, qu'ils soient convexes ou étoilés, sont isogonaux.

Certains polygones à un nombre pair de côtés, dont la longueur prend alternativement deux valeurs différentes, comme par exemple le rectangle, sont isogonaux. Tous les polygones de ce type à $2n$ côtés (n = 2, 3, …) présentent une symétrie diédrale $D_{n}$ avec des axes de symétrie reliant les milieux des côtés.

Polyèdre isogonal

Les polyèdres isogonaux peuvent être classés en :

Régulier s'il est également isoédral (en) et isotoxalFigure isotoxale ; ceci implique que chaque face soit un même polygone régulier.
Quasi-régulier s'il est également isotoxal mais non nécessairement isoédral.
Noble (en) s'il est également isoédral mais non nécessairement isotoxal.
Semi-régulier si chaque face est un polygone régulier mais que le polyèdre n'est ni isoèdral ni isotoxal.
Uniforme si chaque face est un polygone régulier, c'est-à-dire que le polyèdre est régulier, quasi-régulier ou semi-régulier.

Un polyèdre isogonal est un cas particulier de figure de sommet. Si les faces sont régulières (et que donc le polyèdre est uniforme) il peut être représenté par une configuration de sommets (en) indiquant la suite des faces autour de chaque sommet.

Polytopes isogonaux et tessellations

Cette définition peut être étendue aux polytopes et aux tessellations. Plus généralement, les polytopes uniformes (en) sont isogonaux, par exemple, les 4-polytopes uniformes et les nids d'abeille uniformes convexes (en).

Le dual d'un polytope isogonal est isoédral.

Figures k-isogonales

Un polytope est dit k-isogonal si ses sommets formes des classes k-transitives.

Ce dodécaèdre rhombique tronqué est 2-isogonal car il contient 2 classes de transitivité de sommets. Ce polyèdre est formé de carrés et d'hexagones aplatis.	Ce pavage semi-régulier est également2-isogonal. Il est constitué de triangle équilatéraux, de carrés et d'hexagones réguliers.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Isogonal figure » (voir la liste des auteurs).
(en) Peter R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge University Press, 1999 (ISBN 978-0-52166405-9) (p. 369 : transitivity)
(en) Branko GrünbaumBranko Grünbaum et Geoffrey Shephard, Tilings and Patterns, New York, Freeman, 1987 (ISBN 978-0-7167-1193-3, LCCN 86002007) (p. 33 : k-isogonal tiling, p. 65 : k-uniform tilings)

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Vertex-transitive graph », sur MathWorld
(en) George Olshevsky (en), Transitivity sur Glossary for Hyperspace
(en) George Olshevsky, Isogonal sur Glossary for Hyperspace.
(en) Isogonal Kaleidoscopical Polyhedra par Vladimir Bulatov (département de physique, université d'État de l'Oregon-Corvallis)
(en) Uniform tilings sur le site de Steve Dutch (département de sciences naturelles et appliquées, université du Wisconsin-Green Bay), qui utilise le terme k-uniforme pour k-isogonal
(en) List of n-uniform tilings sur le site probabilitysports.com
(en) Eric W. Weisstein, « Demiregular tessellations », sur MathWorld (utilise aussi le terme k-uniforme pour k-isogonal)

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