Síkgörbe

A síkgörbék egydimenziós síkbeli ponthalmazok ^[forrás?]. Vannak összefüggőek és több ágra osztottak, korlátosak és végtelenbe nyúlók. Némelyek alig, mások jobban eltérnek az egyenestől. Az egyszerű görbéken nincsenek hurkok, más görbék önmagukat metszik. A síkgörbéket többféle gyakorlati és elméleti vizsgálatnál használjuk. Megadásuk, definíciójuk nagyon változatos. Sok nevezetes görbe többféleképpen értelmezhező, ennek következtében a görbék osztályozására nem kerülhet sor, csupán jellemző típusokat tudunk kiemelni.(A matematikai elemzés során az egyenest is közéjük soroljuk.)

Fontosabb görbetípusok

Elemi függvények grafikonjai

Racionális egészfüggvények,

Racionális törtfüggvények,

Irracionális függvények,

Exponenciális és logaritmusfüggvények,

Trigonometrikus és arcus függvények,

Hiperbolikus és Area-függvények.

Más fontos görbék

Kúpszeletek: kör, ellipszis, parabola, hiperbola;

Harmadrendű görbék: Neil-parabola, Agnesi-féle görbe, Descartes-féle levél, cisszoid, sztrofoid;

Negyedrendű görbék: Nikomédész-féle konhoisz, Pascal-féle csiga, kardioid, lemniszkáta, Cassini-görbe;

Cikloisok: közönséges-, hurkolt-, nyújtott-ciklois, epi-/hipociklois, asztroid;

Spirálisok: Arkhimédész-f., Galilei-f., parabolikus -, hiperbolikus -, logaritmikus spirál, klotoid (= cornu spirál), lituus (pásztorbot), körevolvens;

valamint a láncgörbe, a traktrix, evolvensek.

Differenciálgeometriai leírás

A síkgörbét a térgörbék speciális eseteként kezeljük. A térbeli derékszögű koordináta-rendszer (X;Y) síkjában fekvő görbe leírható

(a) -- ${\vec {r}}={\vec {g}}(t)~$ vektor-skalár függvénnyel,

(b) -- $x=x(t),~~y=y(t)~$ paraméteres egyenletrendszerrel,

(c) -- $F(x,y)=0~$ implicit egyenlettel,

(d) -- $y=f(x)~$ explicit egyenlettel,

valamint ez utóbbi három alakban polárkoordinátákkal:

(e) -- $\rho =\rho (t),~\varphi =\varphi (t)~$

(f) -- $\Pi (\rho ,\varphi )=0~$,

(g) -- $\rho =p(\varphi )~$.

Hasonló formulák használhatók más koordináta-rendszerekben.

A görbe lokális jellemzői

Ívhossz

A görbeszakasz s ívhossza a ds ívelem integrálja a [t..t+dt] intervallumban:

$ds={\sqrt {{\dot {x}}^{2}(t)+{\dot {y}}^{2}(t)}}\,$

$s=\int \limits _{t}^{t+dt}\mid \mathbf {\dot {r}} (t)\mid dt,$

Érintő

Az görbe adott pontjában az érintő irányú ${\vec {t}}$ vektor a vektor-skalár függvény t szerinti első deriváltja:

${\vec {t}}=\mathbf {\dot {r}} (t)={\dot {x}}(t)\mathbf {i} +{\dot {y}}(t)\mathbf {j}$

Normális

A görbe adott pontjában az érintőre merőleges ${\vec {n}}$ vektor a vektor-skalár függvény t szerinti második deriváltja:

${\vec {n}}=\mathbf {\ddot {r}} (t)={\ddot {x}}(t)\mathbf {i} +{\ddot {y}}(t)\mathbf {j}$

Görbület

Az érintő irányváltozásának a pályamenti sebessége, az irányszög ívhossz szerinti első deriváltja:

$g={\frac {d\alpha }{ds}}={\frac {\mid {\vec {n}}\mid }{\mid {\vec {t}}\mid ^{2}}},$.

A görbületi sugár (a simulókör sugara) a görbület reciproka:

$\rho ={\frac {1}{g}}\,$.

Különleges pontok

Inflexiós pont

Az inflexiós pontban a görbület $g=0$, a két csatlakozó görbeíven ellentétes előjelű. Az inflexiós pontban az érintő metszi a görbét.

Csúcspont

Olyan pont, ahol a görbületnek (lokális) maximuma/minimuma van.

Szinguláris pontok

Kettős (többszörös) pont, ahol a görbe önmagát metszi.

Izolált pont: a többi résztől különálló, de a leképezés kép-pontja.

Töréspont: az érintő ugrásszerűen megváltozik ($\neq 180^{o}$).

Hegy: a pontban az érintő ellentétes irányúra változik.

Simulópont: ahol a görbe önmagát érinti, közös a két ív érintője.

Végpontok: a nem csatlakozó ívdaraboké és a korlátos görbéké.

Aszimptotikus pont: az egy pontra zsugorodó spirális határértéke.

Források

• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
• J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv, Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091
• Courant – Robbins: Mi a matematika? Gondolat, 1966.
• Reiman István: Matematika, Műszaki Könyvkiadó, 1992.
• Reinhardt, F. – Soeder, H.: SH Atlasz-Matematika, Springer-Verlag, 1993.