Síkgörbe
A síkgörbék egydimenziós síkbeli ponthalmazok [forrás?]. Vannak összefüggőek és több ágra osztottak, korlátosak és végtelenbe nyúlók. Némelyek alig, mások jobban eltérnek az egyenestől. Az egyszerű görbéken nincsenek hurkok, más görbék önmagukat metszik. A síkgörbéket többféle gyakorlati és elméleti vizsgálatnál használjuk. Megadásuk, definíciójuk nagyon változatos. Sok nevezetes görbe többféleképpen értelmezhező, ennek következtében a görbék osztályozására nem kerülhet sor, csupán jellemző típusokat tudunk kiemelni.(A matematikai elemzés során az egyenest is közéjük soroljuk.)
Fontosabb görbetípusok
Elemi függvények grafikonjai
- Racionális egészfüggvények,
- Racionális törtfüggvények,
- Irracionális függvények,
- Exponenciális és logaritmusfüggvények,
- Trigonometrikus és arcus függvények,
- Hiperbolikus és Area-függvények.
Más fontos görbék
- Kúpszeletek: kör, ellipszis, parabola, hiperbola;
- Harmadrendű görbék: Neil-parabola, Agnesi-féle görbe, Descartes-féle levél, cisszoid, sztrofoid;
- Negyedrendű görbék: Nikomédész-féle konhoisz, Pascal-féle csiga, kardioid, lemniszkáta, Cassini-görbe;
- Cikloisok: közönséges-, hurkolt-, nyújtott-ciklois, epi-/hipociklois, asztroid;
- Spirálisok: Arkhimédész-f., Galilei-f., parabolikus -, hiperbolikus -, logaritmikus spirál, klotoid (= cornu spirál), lituus (pásztorbot), körevolvens;
- valamint a láncgörbe, a traktrix, evolvensek.
Differenciálgeometriai leírás
A síkgörbét a térgörbék speciális eseteként kezeljük. A térbeli derékszögű koordináta-rendszer (X;Y) síkjában fekvő görbe leírható
- (a) -- vektor-skalár függvénnyel,
- (b) -- paraméteres egyenletrendszerrel,
- (c) -- implicit egyenlettel,
- (d) -- explicit egyenlettel,
valamint ez utóbbi három alakban polárkoordinátákkal:
- (e) --
- (f) -- ,
- (g) -- .
Hasonló formulák használhatók más koordináta-rendszerekben.
A görbe lokális jellemzői
Ívhossz
A görbeszakasz s ívhossza a ds ívelem integrálja a [t..t+dt] intervallumban:
Érintő
Az görbe adott pontjában az érintő irányú vektor a vektor-skalár függvény t szerinti első deriváltja:
Normális
A görbe adott pontjában az érintőre merőleges vektor a vektor-skalár függvény t szerinti második deriváltja:
Görbület
Az érintő irányváltozásának a pályamenti sebessége, az irányszög ívhossz szerinti első deriváltja:
- .
A görbületi sugár (a simulókör sugara) a görbület reciproka:
- .
Különleges pontok
Inflexiós pont
Az inflexiós pontban a görbület , a két csatlakozó görbeíven ellentétes előjelű. Az inflexiós pontban az érintő metszi a görbét.
Csúcspont
Olyan pont, ahol a görbületnek (lokális) maximuma/minimuma van.
Szinguláris pontok
- Kettős (többszörös) pont, ahol a görbe önmagát metszi.
- Izolált pont: a többi résztől különálló, de a leképezés kép-pontja.
- Töréspont: az érintő ugrásszerűen megváltozik ().
- Hegy: a pontban az érintő ellentétes irányúra változik.
- Simulópont: ahol a görbe önmagát érinti, közös a két ív érintője.
- Végpontok: a nem csatlakozó ívdaraboké és a korlátos görbéké.
- Aszimptotikus pont: az egy pontra zsugorodó spirális határértéke.
Források
- Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
- J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv, Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091
- Courant – Robbins: Mi a matematika? Gondolat, 1966.
- Reiman István: Matematika, Műszaki Könyvkiadó, 1992.
- Reinhardt, F. – Soeder, H.: SH Atlasz-Matematika, Springer-Verlag, 1993.