Ultimo teorema di Fermat

L'edizione del 1670 dell'Arithmetica di Diofanto di Alessandria include a margine il commento di Fermat, in latino, che espone il teorema (Observatio Domini Petri de Fermat).

L'ultimo teorema di Fermat (più correttamente definibile come ultima congettura di Fermat, non essendo dimostrata all'epoca) afferma che non esistono soluzioni intere positive all'equazione:

$a^{n}+b^{n}=c^{n}$

se $n>2$.

Storia

L'enunciato fu formulato da Pierre de Fermat nel 1637, il quale tuttavia non rese nota la dimostrazione che affermò di aver trovato. Scrisse in proposito, ai margini di una copia dell'Arithmetica di Diofanto di Alessandria sulla quale era solito formulare molte delle sue famose teorie:

"Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina".

Nei secoli successivi diversi matematici hanno tentato di fornire una dimostrazione alla congettura di Fermat, tra questi vi sono:

1. Eulero, che, nel XVIII secolo, formulò una dimostrazione valida solo per $n=3$,
2. Adrien-Marie Legendre, che risolse il caso $n=5$,
3. Sophie Germain, che, lavorando sul teorema, scoprì che esso era probabilmente vero per $n$ uguale a un particolare numero primo $p$, tale che $2p+1$ sia anch'esso primo: i primi di Sophie Germain.

Solo nel 1994, dopo sette anni di dedizione completa al problema e dopo un "falso allarme" nel 1993, Andrew Wiles, affascinato dal teorema che fin da bambino sognava di risolvere, riuscì a dare finalmente una dimostrazione. Da allora ci si può riferire all'ultimo teorema di Fermat come al teorema di Fermat-Wiles. Wiles utilizzò tuttavia elementi di matematica e algebra moderna che Fermat non poteva conoscere: la dimostrazione che Fermat affermava di avere, se fosse stata corretta, era pertanto diversa.

La soluzione di Wiles fu pubblicata nel 1995 e premiata il 27 giugno 1997 con il Premio Wolfskehl, consistente in una borsa di 50 000 dollari.

Nel 2016 l'Accademia norvegese di Scienze e Lettere ha assegnato a Sir Andrew J. Wiles il Premio Abel "per la sua splendida dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat (...), che apre una nuova era nella teoria dei numeri".

Il contesto matematico

L'ultimo teorema di Fermat è una generalizzazione dell'equazione diofantea $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Già antichi Greci e Babilonesi sapevano che questa equazione ha delle soluzioni intere, come $(3,4,5)$ (infatti $3^{2}+4^{2}=5^{2}$) o $(5,12,13)$. Queste soluzioni, conosciute come terne pitagoriche, sono infinite anche escludendo le soluzioni banali per cui $a$, $b$ e $c$ hanno un divisore in comune e quelle, ancor più banali, in cui almeno uno dei numeri sia uguale a zero.

Secondo l'ultimo teorema di Fermat non esistono soluzioni intere positive quando l'esponente $2$ è sostituito da un numero intero maggiore. Mentre il teorema stesso non si presta a nessuna applicazione, cioè non è stato usato per dimostrare altri teoremi, esso è particolarmente noto per la sua correlazione con molti argomenti matematici che apparentemente non hanno nulla a che vedere con la teoria dei numeri. La ricerca di una sua dimostrazione è stata all'origine dello sviluppo di importanti aree della matematica.

Le origini

Il teorema deve essere dimostrato soltanto per $n=4$ e nel caso in cui $n$ sia un numero primo: se infatti si trovasse una soluzione $a^{kp}+b^{kp}=c^{kp}$, si avrebbe immediatamente una soluzione $(a^{k})^{p}+(b^{k})^{p}=(c^{k})^{p}$.

Fermat stesso dimostrò in un altro suo lavoro il caso $n=4$ o, più precisamente, che non esiste una terna $(a,b,c)$ tale che $a^{4}+b^{4}=c^{2}$ (ovviamente, se non esiste un $c$ elevato al quadrato, non può nemmeno essercene uno elevato alla quarta potenza). Per la dimostrazione ha fatto uso della tecnica dimostrativa detta "della discesa infinita". Nel corso degli anni il teorema fu dimostrato per un numero sempre maggiore di esponenti specifici $n$, ma il caso generale rimaneva irrisolto.

Eulero dimostrò il teorema per $n=3$, mentre Dirichlet e Legendre fecero lo stesso per $n=5$ nel 1825. Gabriel Lamé dimostrò il caso $n=7$ nel 1839.

Nel 1983 Gerd Faltings dimostrò la congettura di Mordell: per ogni $n>2$ c'è al massimo un numero finito di interi coprimi $a$, $b$ e $c$ con $a^{n}+b^{n}=c^{n}$.

La dimostrazione

Utilizzando sofisticati strumenti della geometria algebrica (in particolare la teoria degli schemi), della teoria di Galois (in particolare le rappresentazioni di Galois), della teoria delle curve ellittiche e delle forme modulari (in particolare le proprietà dell'algebra di Hecke), Andrew Wiles, dell'università di Princeton, con l'aiuto del suo primo studente Richard Taylor, diede una dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat, pubblicata nel 1995 sulla rivista Annals of Mathematics.

Nel 1986, Ken Ribet aveva dimostrato la congettura epsilon di Gerhard Frey secondo la quale ogni controesempio $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ all'ultimo teorema di Fermat avrebbe prodotto una curva ellittica, definita come

$y^{2}=x(x-a^{n})(x+b^{n}),$

che a sua volta fornirebbe un controesempio alla congettura di Taniyama-Shimura (una congettura che lega curve ellittiche e forme modulari). Wiles dimostrò un caso speciale di questa congettura, dimostrando che quest'ultima congettura non può avere controesempi di tal tipo e, quindi, dimostrando il teorema di Fermat.

Wiles impiegò sette anni per risolvere quasi tutti i particolari, da solo e in assoluta segretezza (tranne una fase finale di revisione, per la quale si avvalse dell'aiuto di un suo collega di Princeton, Nicholas Katz). Quando, nel corso di tre conferenze tenute all'università di Cambridge tra il 21-23 giugno 1993, Wiles annunciò la dimostrazione, stupì per il gran numero di idee e tecniche usate. Dopo un controllo più attento fu però scoperto un serio errore che sembrava condurre al ritiro definitivo della dimostrazione.

Wiles trascorse circa un anno per rivedere la dimostrazione, avvalendosi anche dell'aiuto di Taylor, e nel settembre 1994 pubblicò la versione finale e corretta suddividendola in due articoli. Il primo, più corposo, contiene gran parte delle idee usate (e si basa su un approccio in parte diverso da quello usato per la prima dimostrazione integrando idee inizialmente scartate), mentre il secondo, scritto con Taylor, contiene un risultato tecnico necessario per concludere la dimostrazione.

Gli strumenti matematici utilizzati da Wiles e Taylor non erano conosciuti ai tempi di Fermat, quindi continua a sussistere il mistero – ed il dubbio – sulla dimostrazione che Fermat avrebbe potuto fornire.

Fermat ha dato realmente una dimostrazione?

La citazione in latino diceva:

(LA)

«Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.»

(IT)

«È impossibile separare un cubo in due cubi, o una potenza quarta in due potenze quarte, o in generale, tutte le potenze maggiori di 2 come somma della stessa potenza. Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina»

(Pierre de Fermat)

Ci sono seri dubbi riguardo alla rivendicazione di Fermat di aver trovato una dimostrazione veramente importante, che fosse corretta.

La dimostrazione di Wiles, di circa 200 pagine nella prima dimostrazione, ridotte a 130 nella versione definitiva, è considerata unanimemente al di là della comprensione della maggior parte dei matematici di oggi. Spesso le dimostrazioni iniziali della maggior parte dei risultati non sono tipicamente le più dirette ed è quindi possibile che, data la complessità, possa esistere una dimostrazione più sintetica ed elementare. Non è però verosimile che la dimostrazione di Wiles possa essere semplificata in maniera significativa, soprattutto fino a essere esprimibile con gli strumenti matematici posseduti da Fermat.

I metodi utilizzati da Wiles erano difatti sconosciuti quando Fermat scriveva e pare estremamente improbabile che Fermat sia riuscito a derivare tutta la matematica necessaria per dimostrare una soluzione. Andrew Wiles stesso ha affermato "è impossibile; questa è una dimostrazione del XX secolo".

Dunque, o esiste una dimostrazione più semplice che i matematici finora non hanno trovato, o Fermat semplicemente si sbagliò. Per questo sono particolarmente interessanti diverse dimostrazioni errate, ma in prima analisi plausibili, che erano alla portata di Fermat. La più nota si basa sul presupposto erroneo che valga l'unicità della scomposizione in fattori primi in tutti gli anelli degli elementi integrali dei campi sui numeri algebrici (vedi Dominio a fattorizzazione unica e Fattorizzazione (teoria degli anelli)).

Questa è una spiegazione accettabile per molti esperti della teoria dei numeri considerando anche che molti dei maggiori matematici successivi che hanno lavorato sul problema hanno seguito questo percorso e talvolta hanno anche sinceramente creduto di aver dimostrato il teorema, salvo successivamente dover ammettere di avere fallito.

Il fatto che Fermat non abbia mai reso pubblico, né comunicato a qualche amico o collega, nemmeno un'enunciazione circa l'esistenza di una dimostrabilità (come invece faceva di solito per le sue soluzioni di cui era certo), può essere un forte indizio di un suo successivo ripensamento, dovuto a una tardiva scoperta di un errore nel suo tentativo di dimostrazione. Di fatto l'unica "enunciazione" consistette solo in un suo appunto personale manoscritto ai margini di un libro. Fermat, inoltre, pubblicò successivamente un suo lavoro di dimostrazione per il caso speciale n=4 (ovvero $a^{4}+b^{4}=c^{4}$). Se realmente avesse ancora ritenuto di possedere una dimostrazione completa per il teorema, non avrebbe pubblicato un tale lavoro parziale, indice che la ricerca non era per lui né soddisfacente e neppure conclusa.

Lo stesso dicasi dei matematici che, dopo di lui, dimostrarono il teorema per dei numeri singoli. Si trattò senz'altro di eventi notevoli ma di portata non risolutiva, dato che per definizione i numeri sono infiniti. Ciò che si richiedeva era un procedimento che permettesse la generalizzazione della dimostrazione.

Influenza culturale

• Nel romanzo La ragazza che giocava con il fuoco, di Stieg Larsson, la protagonista Lisbeth Salander si avvicina al problema e ha un'intuizione sulla sua (semplice, quasi banale) soluzione, mentre attraversa uno spazio all'aperto per nascondersi. La soluzione da lei intravista viene comunque completamente dimenticata dopo essere stata colpita alla testa.

• Nel romanzo Un uomo di Oriana Fallaci, il protagonista Alekos Panagulis, durante gli anni di isolamento in prigione, arriva alla soluzione del teorema di Fermat ma, non essendogli concesse carta e penna, non riesce a fissare il suo ragionamento, perdendolo per sempre.

• Nel primo episodio della quinta stagione moderna di Doctor Who, intitolato The Eleventh Hour, il Dottore afferma di essere stato lui ad aver suggerito il risultato corretto a Fermat.

• Nel romanzo Il teorema del pappagallo, di Denis Guedj, un vecchio matematico, Grosrouvre, manda una lettera al suo vecchio amico Pierre Ruche affermando di aver dimostrato due congetture: l'ultimo teorema di Fermat e la congettura di Goldbach, anche se voleva tener segrete le dimostrazioni.

• Nell'episodio Hotel Royale di Star Trek: The Next Generation il capitano Jean-Luc Picard, parlando col comandante William Riker racconta del teorema di Fermat e di come da 800 anni si tenti, invano, di risolverlo. Come nonostante tutta la loro civiltà, la loro tecnologia il loro grado di avanzamento, ancora non siano riusciti a risolvere una così semplice equazione. Si deve considerare che l'episodio è andato in onda nel 1989, pochi anni prima che il teorema venisse risolto. Il teorema viene citato per la seconda volta in Viaggi nella memoria, un episodio di Star Trek - Deep Space Nine, quando viene rivelato che anche Tobin Dax aveva cercato di risolvere questa equazione e che Jadzia Dax si sarebbe ripromessa di cercare sempre soluzioni originali per ogni problema.

• Nel numero 28 degli albi speciali estivi della serie a fumetti Martin Mystère della casa editrice Bonelli, intitolato "Numeri immaginati" (luglio 2011), si racconta come è nata la storia del teorema e successivamente come si è evoluta. La storia è scritta da Alfredo Castelli e si trova nel piccolo albo accluso all'albo principale.

• Nel film del 2000 Indiavolato, il problema che Elizabeth Hurley, il diavolo, mostra alla classe un'applicazione dell'ultimo teorema di Fermat, del quale molti studiosi usavano dire che avrebbero venduto l'anima al diavolo per risolverlo.

• In due episodi de I Simpson ("La paura fa novanta VI" e "L'inventore di Springfield") compaiono due diverse equazioni che sembrano smentire il teorema di Fermat. Il trucco usato dagli sceneggiatori risiede nell'approssimazione a 10 cifre delle calcolatrici tradizionali.

• Nel romanzo L'Ultimo Teorema di Arthur C. Clarke e Frederick Pohl, il protagonista Ranjit Subramanian riesce a dimostrare il teorema.

• Nel film Oxford Murders - Teorema di un delitto il Teorema di Bormat è in realtà l'ultimo Teorema di Fermat.
• Nel saggio "La Biblioteca Total" 1939 Sur Jorge Luis Borges riferisce che la Biblioteca contiene, essendo totale, la dimostrazione del teorema di Pierre Fermat.

Bibliografia

• Amir D. Aczel, L'enigma di Fermat, Net, 1998, ISBN 88-515-2082-8.
• Simon Singh, L'ultimo teorema di Fermat, Milano, Rizzoli, 1999, ISBN 88-17-11291-7.

Voci correlate

• Andrew Wiles
• Il teorema del pappagallo, romanzo che ruota intorno all'ultimo teorema di Fermat
• Numero primo
• Teoria dei numeri
• Teorema di Pitagora
• Curva ellittica
• Forma modulare
• Congettura di Eulero

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Collegamenti esterni

• Fermat, ultimo teorema di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• L'ultimo teorema di Fermat, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Fermat’s last theorem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Ultimo teorema di Fermat, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Ultimo teorema di Fermat, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.