Lavoro (fisica)

In meccanica classica il lavoro di una forza costante ${\vec {F}}$ lungo un percorso rettilineo è definito come il prodotto scalare del vettore forza per il vettore spostamento ${\vec {s}}$:

$L={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}=\left|{\vec {F}}\right|\cdot \left|{\vec {s}}\right|\cdot \cos \alpha$

dove L è il lavoro e α l'angolo tra la direzione della forza e la direzione dello spostamento.

Lavoro con forza e traiettoria costante

Il lavoro può essere sia positivo che negativo, il segno dipende dall'angolo $\alpha$ compreso tra il vettore forza ${\vec {F}}$ ed il vettore spostamento ${\vec {s}}$.

Il lavoro svolto dalla forza è positivo se $\alpha <90^{\circ }$ ovvero se $\cos \alpha >0$. Un lavoro positivo è definito motore, uno negativo, invece, resistenza.

Il termine utilizzato in fisica differisce dalla definizione usuale di lavoro, che è decisamente antropomorfa. Infatti si compie un lavoro se si ha uno spostamento e se questo spostamento non è chiuso (cioè ritorna al punto di partenza). Ad esempio se si spinge contro un muro, naturalmente il muro non si sposta e, quindi, non si ha lavoro.

Casi particolari

Quando la forza ha la stessa direzione dello spostamento, il prodotto scalare equivale al prodotto aritmetico dei moduli dei due vettori:

$\alpha =0^{\circ }\rightarrow \cos \alpha =1\rightarrow L=\left|{\vec {F}}\right|\cdot \left|{\vec {s}}\right|$.

Anche nel caso di forza parallela ma opposta allo spostamento, l'espressione del lavoro si riduce al prodotto aritmetico dei moduli, ma con segno opposto:

$\alpha =180^{\circ }\rightarrow \cos \alpha =-1\rightarrow L=-\left|{\vec {F}}\right|\cdot \left|{\vec {s}}\right|$.

Quando forza e spostamento sono perpendicolari, il lavoro è nullo:

$\alpha =90^{\circ }\rightarrow \cos \alpha =0\rightarrow L=0$.

Lavoro in termodinamica

In termodinamica un gas esercita una pressione P interna sulle pareti del contenitore in cui viene contenuto. Se una di queste pareti (di area A) è mobile e si sposta di una quantità infinitesima dl sotto l'azione di questa pressione allora il lavoro infinitesimo compiuto dal gas è dato da

$\delta L=PAdl=P\cdot dV$.

dove dV = A dl è la variazione del volume corrispondente. Questo è vero se la trasformazione è reversibile, infatti solo se il sistema è in equilibrio è possibile conoscere il valore della pressione P interna al contenitore. La notazione $\delta L$ è usata per denotare che il lavoro in fisica non è una funzione di stato, cioè esso dipende dalla particolare trasformazione eseguita sul sistema: in termini matematici si dice che il lavoro non è, in generale, esprimibile come un differenziale esatto.

Infine se il sistema termodinamico subisce una trasformazione generica, quindi per lo più irreversibile, allora possiamo ancora quantificare il lavoro fatto dal gas o dal sistema:

$\delta L=P_{e}Adl=P_{e}\cdot dV$

contro la pressione esterna $P_{e}$.

Altri esempi di lavoro

• In un circuito elettrico il lavoro infinitesimo compiuto dalla batteria che genera la differenza di potenziale per far circolare una corrente elettrica I per un tempo infinitesimo dt è data da $dL=EIdt$, il segno di tale lavoro sarà positivo o negativo a seconda che rispettivamente la pila eroghi o assorba corrente.

Definizione generale

Più in generale, si definisce lavoro lineare elementare di una forza ${\vec {F}}({\vec {r}})$ associato allo spostamento elementare $d{\vec {s}}$ lungo la traiettoria $\gamma$, la forma differenziale:

$dL={\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}dt$

che in termini di coordinate cartesiane, si può esprimere come:

$dL=F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz$

Il lavoro lungo una curva $\gamma$ è definito come l'integrale di linea di seconda specie della forma differenziale $dL$:

$L=\int _{\gamma }dL=\int _{\gamma }{{\vec {F}}({\vec {r}})}\cdot \operatorname {d} {\vec {s}}$

ovvero l'integrale di linea della forza ${\vec {F}}({\vec {r}})$ lungo la curva $\gamma$.

Il lavoro può essere definito anche a partire da un momento di una forza:

$dL={\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}\cdot dt={\vec {F}}\cdot \left({\vec {\omega }}\times {\vec {OP}}\right)dt={\vec {\omega }}\cdot \left({\vec {OP}}\times {\vec {F}}\right)=d{\vec {\theta }}\cdot {\vec {M}}_{o}$

Il lavoro finito del momento corrispondente ai due spostamenti angolari $\theta _{1}$ e $\theta _{2}$ è formalmente uguale all'integrale:

$L=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\vec {M_{o}}}\cdot d{\vec {\theta }}$

In generale, il lavoro dipende dalla traiettoria per andare da A a B; la forza essendo un vettore dipende dalle coordinate, varia al variare del tempo. Possiamo restringerci al caso di forze per le quali il lavoro è funzione solo delle posizioni iniziale e finale della traiettoria e non dalla traiettoria seguita.

Se il campo di forze ${\vec {F}}({\vec {r}})$ è tale che il lavoro non dipende dal particolare cammino seguito, ma solo dalla posizione iniziale ${\vec {r}}_{A}$ e dalla posizione finale ${\vec {r}}_{B}$, allora il campo è detto conservativo. In tale caso è possibile definire una funzione scalare, detta energia potenziale, la cui variazione tra i punti ${\vec {r}}_{A}$ e ${\vec {r}}_{B}$ rappresenta il lavoro compiuto dalle forze per andare da A a B (per quanto detto prima lungo un qualunque percorso).

$L=U({{\vec {r}}_{A}})-U({\vec {r}}_{B})$.

Il concetto continua a valere se U non dipende dalla "posizione" ma da uno "stato", oppure da una posizione nello spazio delle fasi del sistema: ovviamente sostituendo ${\vec {r}}$ con l'equivalente nel caso in questione. Un esempio è il diagramma Pressione/Volume usato per le macchine termiche.

Il lavoro compiuto dalla risultante delle forze agenti su un corpo è uguale alla variazione della sua energia cinetica (vedi anche Teorema dell'energia cinetica).

Unità di misura

Nel Sistema Internazionale l'unità di misura per il lavoro è il joule che corrisponde allo spostamento di 1 metro di una forza unitaria misurata in newton:

$\mathrm {J} =\mathrm {N} \mathrm {m} =\mathrm {kgm^{2}s^{-2}}$

Tra le altre unità di misura del lavoro ricordiamo il chilogrammetro, l'erg e l'elettronvolt.

Voci correlate

• Campo di forze
• Energia potenziale
• Potenziale
• Lavoro di volume