Tensore di Einstein

Il tensore di Einstein esprime la curvatura dello spaziotempo nell'equazione di campo di Einstein per la gravitazione in teoria della relatività generale.

Definizione

Il tensore di Einstein è definito come

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu }.$

In questa espressione $R_{\mu \nu }$ è il tensore di Ricci, $g_{\mu \nu }$ è il tensore metrico e $R$ è la curvatura scalare. Per ottenere il tensore di Einstein si contrae due volte la seconda identità di Bianchi

$g^{\beta \nu }g^{\alpha \mu }\left(\nabla _{\lambda }R_{\alpha \beta \mu \nu }+\nabla _{\mu }R_{\alpha \beta \nu \lambda }+\nabla _{\nu }R_{\alpha \beta \lambda \mu }\right)=0$

Contraendo gli indici e tenendo conto dell'antisimmetria del tensore di Riemann, si ottiene

$\nabla _{\lambda }R_{\nu }^{\nu }-\nabla _{\mu }R_{\lambda }^{\mu }-\nabla _{\nu }R_{\lambda }^{\nu }=0$

Contraendo l'indice $\nu$, assimilando il secondo e il terzo termine e cambiando i segni abbiamo

$2\nabla _{\mu }R_{\lambda }^{\mu }-\nabla _{\lambda }R=0$

Facendo uso della relazione $\nabla _{\mu }\left(2R_{\lambda }^{\mu }-\delta _{\lambda }^{\mu }R\right)=2\nabla _{\mu }R_{\lambda }^{\mu }-\nabla _{\lambda }R$, possiamo riscrivere l'equazione precedente come

$\nabla _{\mu }\left(2R_{\lambda }^{\mu }-\delta _{\lambda }^{\mu }R\right)=0$

che è detta seconda identità di Bianchi contratta due volte. Moltiplicando entrambi i membri per $g^{\nu \lambda }$ abbiamo

$\nabla _{\mu }\left(2R^{\nu \mu }-g^{\nu \mu }R\right)=0$

ovvero

$\nabla _{\mu }\left(R^{\nu \mu }-{\frac {1}{2}}g^{\nu \mu }R\right)=0$

Abbassando gli indici, e tenendo conto che sia il tensore metrico che il tensore di Ricci sono simmetrici, possiamo scrivere

$\nabla ^{\mu }\left(R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R\right)=0$

La quantità tra parentesi coincide con la definizione di $G_{\mu \nu }$ data sopra.

Proprietà

Derivata covariante

La proprietà cruciale che caratterizza il tensore di Einstein è l'identità

$\nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0$

conseguenza della seconda identità di Bianchi. In altre parole, il tensore di Einstein ha divergenza nulla.

Questa proprietà può essere dimostrata nel modo seguente. La seconda identità di Bianchi recita:

$\nabla _{\lambda }R_{\rho \sigma \mu \nu }+\nabla _{\rho }R_{\sigma \lambda \mu \nu }+\nabla _{\sigma }R_{\lambda \rho \mu \nu }=0,\,\!$

Possiamo contrarre due volte questa uguaglianza usando il tensore metrico inverso:

$g^{\nu \sigma }g^{\mu \lambda }(\nabla _{\lambda }R_{\rho \sigma \mu \nu }+\nabla _{\rho }R_{\sigma \lambda \mu \nu }+\nabla _{\sigma }R_{\lambda \rho \mu \nu })=0$

e otteniamo

$\nabla ^{\mu }R_{\rho \mu }-\nabla _{\rho }R+\nabla ^{\nu }R_{\rho \nu }=0.$

In altre parole:

$2\nabla ^{\mu }R_{\rho \mu }-\nabla _{\rho }R=0.$

L'ultima equazione è possibile riscriverla nella forma:

$\nabla _{\rho }{R^{\rho }}_{\mu }={1 \over 2}\nabla _{\mu }R\,,$

che risulta essere identica alle classiche identità di Bianchi contratte pubblicate per la prima volta dal matematico tedesco Aurel Voss nel 1880.

Traccia

La traccia del tensore di Ricci è la curvatura scalare $R$. La traccia $G$ del tensore di Einstein in dimensione $n$ può essere calcolata nel modo seguente:

${\begin{aligned}g^{\mu \nu }G_{\mu \nu }&=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }R\\G&=R-{1 \over 2}(nR)\\G&={{2-n} \over 2}R\end{aligned}}$

In dimensione $n=4$ il tensore di Einstein ha quindi traccia $-R$, opposta a quella del tensore di Ricci.

In dimensione $n=2$ (varietà conformemente piatta) il tensore di Einstein ha traccia nulla.

Bibliografia

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• (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.