Tensore energia impulso

Le componenti del tensore energia impulso.

Il tensore energia impulso, anche detto tensore energia momento o tensore stress energia, è un tensore definito nell'ambito della teoria della relatività. Esso descrive il flusso di energia e quantità di moto associate ad un campo.

Definizione

Il tensore energia impulso è il tensore $T^{\alpha \beta }$ del secondo ordine che fornisce il flusso della componente α-esima della quantità di moto attraverso una superficie con coordinate x^β costanti.
In relatività generale, la quantità di moto è il quadrimpulso, ed il tensore energia impulso è simmetrico,

$T^{\alpha \beta }=T^{\beta \alpha }\!.$

Il tensore energia impulso soddisfa l'equazione di continuità

$\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0$

La quantità

$P^{\nu }=\int d^{3}xT^{0\nu }$

rappresenta il vettore energia-momento totale della regione di spazio a cui è esteso l'integrale.

Il tensore energia impulso corrisponde alla corrente di Noether associata alle traslazioni spaziotemporali. Nella relatività generale, questa quantità agisce come sorgente della curvatura dello spaziotempo. Una cosa da notare è che nello spaziotempo curvo, l'integrale spaziale dipende dalla porzione di spazio in generale. Questo è semplicemente l'assunto che non c'è modo di definire un vettore energia-momento globale in uno spaziotempo curvo generale.

Componenti

La componente temporale del tensore energia impulso è la densità di massa relativistica, cioè la densità di energia divisa per la velocità della luce al quadrato:

$T^{00}=\rho .$

Il flusso della massa relativistica attraverso la superficie xⁱ è equivalente alla densità dell'i-esima componente della quantità di moto:

$T^{0i}=T^{i0}.$

Le componenti $T^{ik}$, con i e k che variano da 1 a 3, rappresentano il flusso della quantità di moto i-esima attraverso la superficie x^k . In particolare $T^{ii}$ rappresenta la componente normale della tensione interna, detta pressione quando è indipendente dalla direzione, mentre $T^{ik}$ rappresenta lo sforzo di taglio.

Derivazione

Si consideri un sistema in cui l'azione ha la forma data dall'integrale quadridimensionale:

$S=\int \lambda \left(q,{\frac {\partial q}{\partial x^{i}}},t\right)dVdt=\int \lambda d\Omega$

dove $\lambda$ è la densità di lagrangiana relativa all'elemento di volume $dV$, funzione delle coordinate generalizzate, della loro derivata e del tempo. Il principio variazionale di Hamilton stabilisce che il moto di un sistema fisico fra due istanti dello spazio delle configurazioni è tale che l'azione sia stazionaria in corrispondenza della traiettoria del moto per piccole perturbazioni dello stesso, ovvero $\delta {\mathcal {S}}=0$, e quindi:

$\delta S={\frac {1}{c}}\int \left({\frac {\partial \lambda }{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}})}}\delta {\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}\right)d\Omega ={\frac {1}{c}}\int \left[{\frac {\partial \lambda }{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}})}}\delta q\right)-\delta q{\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}})}}\right]d\Omega =0$

Se si applica il teorema di Gauss e si considera l'integrale su tutto lo spazio, il secondo termine si annulla. L'equazione del moto assume allora la forma dell'equazioni di Eulero-Lagrange:

${\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}})}}-{\frac {\partial \lambda }{\partial q}}=0$

dove l'indice ripetuto implica la sommatoria, secondo la notazione di Einstein. Sostituendo tale espressione all'interno di:

${\frac {\partial \lambda }{\partial x^{i}}}={\frac {\partial \lambda }{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}})}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}}\right)$

si ottiene:

${\frac {\partial \lambda }{\partial x^{i}}}={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}})}}\right){\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}})}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\left({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}\right)={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\left({\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}})}}\right)$

Dato che ${\frac {\partial \lambda }{\partial x^{i}}}=\delta _{i}^{k}{\frac {\partial \lambda }{\partial x^{k}}}$, si definisce il tensore energia impulso come:

$T_{i}^{k}={\frac {\partial q}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \lambda }{\partial ({\frac {\partial q}{\partial x^{k}}})}}-\delta _{i}^{k}\lambda$

in modo che l'espressione assume la forma:

${\frac {\partial T_{i}^{k}}{\partial x^{k}}}=0$

Il teorema della divergenza consente di trasformare l'integrale volumetrico di tale derivata in un flusso attraverso la ipersuperficie che delimita il volume:

$\int {\frac {\partial T_{i}^{k}}{\partial x^{k}}}d\Omega =\alpha \int T^{ik}dS_{k}=P^{i}$

dove $P^{i}$ è il quadrimpulso del sistema e $\alpha$ un termine costante: la relazione stabilisce che $P^{i}$ si conserva.

Il tensore energia impulso del campo elettromagnetico

Il tensore energia impulso associato al campo elettromagnetico, detto tensore degli sforzi elettromagnetico, è definito nel sistema internazionale di unità di misura e nello spaziotempo piatto come:

$T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }]\,.$

dove $F^{\mu \nu }$ è il tensore elettromagnetico.
La forma matriciale esplicita è:

$T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2})&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{bmatrix}}$,

dove ${\vec {S}}$ è il vettore di Poynting, $\eta _{\mu \nu }$ il tensore metrico dello spaziotempo di Minkowski:

$\eta _{\mu \nu }\!={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

e $\sigma _{ij}$ il tensore degli sforzi di Maxwell:

$\sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left({\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}}\right)\delta _{ij}$.

Si noti che $c^{2}={\frac {1}{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}$ dove c è la velocità della luce.

Bibliografia

• (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 047130932X.
• Lev D. Landau, Evgenij M. Lifshits, Fisica teorica 2 - Teoria dei campi, Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-359-5358-8.
• Leonardo Ricci, "History of science: Dante's insight into galilean invariance", Nature 434, p. 717 7 aprile 2005.
• Tommaso Alberto Figliuzzi, Relatività e Causalità tra fisica e filosofia, Aracne Editrice, 2007.
• Bertrand Russell, L'ABC della relatività, 1925.

Voci correlate

• David Hilbert
• Principio cosmologico
• Principio di relatività
• Principio di conservazione
• Galileo Galilei
• Albert Einstein

Altri progetti

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• Wikimedia Commons

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Collegamenti esterni

• Template:Dmoz
• (EN) Testo della teoria della relatività di Einstein
• (EN) Progetto Beyond Einstein della NASA
• (EN) Gravitazione quantistica a loop
• (EN) Reflections on Relativity — Un completo corso on line sulla Relatività.
• Un'introduzione alla Teoria della Relatività di A. Amadori - L. Lussardi
• Teoria della Relativita' Speciale: formulazione matematica, V. Moretti, università di Trento