クローニッヒ・ペニーのモデル

クローニッヒ・ペニーのモデル(Kronig-Penney model)は結晶内での電子の挙動を記述する量子力学的なモデルの1つである。 周期的な井戸型ポテンシャル型の一次元のモデルであり、狭義には周期的にデルタ関数型のポテンシャルを持つモデルを指すこともある。 1931年にラルフ・クローニッヒとウィリアム・ペニーによって提出された。 バンド理論の基本的な枠組みをこのモデルで説明することができる。

クローニッヒ・ペニー・ポテンシャル

クローニッヒ・ペニーのモデルのポテンシャルVはnを任意の整数として以下のように表される。

$V(x)={\begin{cases}0\quad (n(a+b)\leq x<n(a+b)+a)\\U_{0}\quad (n(a+b)+a\leq x<(n+1)(a+b))\end{cases}}$

このポテンシャルは周期a+bを持っている。

特に重要なのはb→0かつU₀→∞の極限を取ったモデルでこれはディラックのデルタ関数を用いて以下のように表される。

$V(x)=\sum _{n}\delta (x-na)$

これは間隔aで一次元に配列している原子によるポテンシャルを荒く近似したものと考えることができる。

シュレーディンガー方程式の解

クローニッヒ・ペニーのモデルのシュレーディンガー方程式の解の存在条件は、周期的ポテンシャルに対する波動関数がブロッホの定理を満たさなければならないという条件と、波動関数ψとその一次微分がx = 0およびx = aで連続でなくてはならないという接続条件から導出される永年方程式を解くことで導出される。 b→0かつU₀→∞の極限を取ったモデルにおいて、エネルギー固有値Eをブロッホの定理から要求される波動関数の形式ψ(x) = u(x)exp(ikx)で状態を指定する波数kの関数と見ると、k = nπ/a(nは整数)以外の点では連続であり、kの絶対値の増加につれてEも増加する関数となる。 重要な特徴としてはk = nπ/aにおいてエネルギー値が不連続に変化し、シュレーディンガー方程式の解が存在しないEが現れることである。 すなわち、Eについて解が存在する=そのEの値をとることが許容された区間と、解が存在しない=そのEの値をとることが禁止された区間が存在することになる。 そのEの値をとることが許された区間がエネルギーバンドであり、禁止された区間がバンドギャップである。またkに対してEが連続な一つの区間はブリュアン領域に当たる。

バンドギャップの生じる理由

b→0かつU₀→∞の極限を取ったクローニッヒ・ペニーのモデルで求まるエネルギー固有値はk = nπ/a(エネルギーバンドの上端)ではポテンシャルが0の自由電子と等しい。 これはk = nπ/aにおいてu(x) ～ exp(iπ/2)、波動関数ψはx = naの位置で0となりポテンシャルの影響を受けないためである。 この状態からkがわずかに増加するとポテンシャルの影響が現れるようになり、その上ポテンシャルと波動関数の周期がほぼ等しいのでポテンシャルの影響が非常に大きくなる。 このようにポテンシャルの影響がk = nπ/aの位置で不連続に変化する結果、バンドギャップが生じることになる。