基準振動

基準振動（きじゅんしんどう、Normal Vibration）またはノーマル振動とは、さまざまな振動の基本となっている、特定の単振動のことである。

概要

自由度が 2 以上である系の、平衡状態からの変位を表す一般化座標をq ₁ , q ₂ , ... , q _n とすると、運動エネルギーT およびポテンシャルエネルギーV は（平衡状態を基準にして）

$T={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}\alpha _{ij}{\dot {q_{i}}}{\dot {q_{j}}}$

$V={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}\beta _{ij}q_{i}q_{j}+$(qの3次以上の項)

と表せる。V にq の一次の項がないのは$q_{1}=q_{2}=\cdots =q_{n}=0$で$(\partial V/\partial q_{i})_{0}=0$が平衡状態だからである。系が振動系で |q_i | があまり大きくならないとき（微小振動）を考えるとq の 3 次以上の項は省略できるから、T もV も二次形式になる。変換Q _i ：

$Q_{i}=\sum _{j}\alpha _{ij}q_{j}$

によって新しい一般化座標Q ₁ , Q ₂ , ... , Q _n へ変換した時に、T もV も標準型

$T={\frac {1}{2}}\sum _{i}{\dot {Q}}_{i}^{2}$

$V={\frac {1}{2}}\sum _{i}b_{i}Q_{i}^{2}\qquad (b_{i}>0)$

に変換される場合には、$b_{i}=\nu _{i}^{2}$と置くと、系は

${\ddot {Q}}_{i}=-\nu _{i}^{2}Q_{i}$

にしたがって単振動するn 個の独立な調和振動子の集まりと同等である。このQ ₁ , Q ₂ , ... , Q _n を基準座標と呼び、それらが表す単振動を基準振動（あるいは規準振動）、ν₁ /2π , ν₂ /2π , ... , ν_n /2π を規準振動数という。つまり基準座標は、その基準振動の振幅である。

Q _i は一般にq ₁ , q ₂ , ... , q _n の一次結合であるから、その振動は特定の振幅比でq ₁ , q ₂ , ... , q _n がそろって振動数ν_i /2π の単振動を行う集団運動である。その振幅比が決める振動の様式に着目した場合に、規準振動を基準モードあるいはノーマルモードと呼ぶことがある。連続体の振動は波動方程式に境界条件を課して解けば得られるが、それは定常波の重ね合わせで表されるので、定常波が基準振動に対応する。連続体では基準振動の種類は無限個である。

基準座標の求め方

運動エネルギーT と位置エネルギーVは2次形式なので、対称行列で表せる。この２つの対称行列は、合同変換によって同時に対角化できる。このとき新たに変換された座標（基底）が基準座標である。

分子振動

分子振動では、n 原子分子の自由度 3n から並進運動と回転の自由度を除いた 3n - 6（直線分子では 3n - 5 ）が振動の自由度で、基準振動の個数もこれと同数になる。分子に対称性がある場合、基準振動も対称性をもつので、それに従って基準振動を分類する。原子核の集団運動のうち、振幅が小さくて非調和・非線形の効果が小さい振動モードは、基準振動とみなすことが出来る。これらを微視的に記述する方法に、新タム‐ダンコフ近似がある。

参考文献

• 『物理学辞典』 培風館、1984年