Kwadraat

Het kwadraat (van Latijn: quadratus, vierkant) van een getal is een andere benaming voor de tweede macht van een getal. Het kwadraat wordt verkregen door het getal met zichzelf te vermenigvuldigen.

De kwadraten van de natuurlijke getallen noemt men kwadraatgetallen:

1^{2}=1;\;2^{2}=4;\;5^{2}=25;\;\ldots

Het verband met het begrip vierkant wordt duidelijk als men bedenkt dat de oppervlakte van een vierkant gelijk is aan het kwadraat van de lengte van de zijden.

De inverse van het kwadraat van niet-negatieve getallen is de vierkantswortel.

Voorbeelden

1² = 1 × 1 = 1

3² = 3 × 3 = 9

12² = 12 × 12 = 144

(−3)² = (−3) × (−3) = 9

\left({\tfrac {1}{3}}\right)^{2}={\tfrac {1}{3}}\times {\tfrac {1}{3}}={\tfrac {1}{9}}

\left({\sqrt {3}}\right)^{2}=\left(3^{\frac {1}{2}}\right)^{2}=3

Merkwaardige producten

Een aantal merkwaardige producten bestaat uit kwadraten:

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\!$
$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\!$
$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc\!$

Som van opvolgende oneven getallen

Vermeldenswaardig is ook dat de som van opvolgende oneven getallen de kwadraten levert:

1² = 1
2² = 1 + 3
3² = 1 + 3 + 5
4² = 1 + 3 + 5 + 7
5² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
6² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
7² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
enz.

Er geldt immers:

\sum _{k=0}^{n}(2k+1)=2\sum _{k=0}^{n}k+(n+1)=n(n+1)+(n+1)=(n+1)^{2}

.

Deze relaties kunnen ook geschreven worden als:

1² = 1
2² = 1 + 1 + 2
3² = 1 + 1 + 2 + 2 + 3
4² = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4
5² = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5
enz.

Zo is:

26² = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + ... + 25 + 25 + 26 = 25² + 25 + 26

Men kan deze relaties gemakkelijk begrijpen door de bijbehorende vierkanten te tekenen:

  
 x  x ... x  o  |
 x  x ... x  o  |
 .  . ... .  .  26
 x  x ... x  o  |
 o  o ... o  o  |

 <---25--->

Zie ook

Zie de categorie Squares (geometry) van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.