Stelling van Gelfond-Schneider

Als:
1. a een algebraïsch getal verschillend van 0 of 1 is, en
2. ß een algebraïsch en irrationaal getal is,
dan is a^ß transcendent.

Dit theorema wordt soms ook het Gelfond-Schneider-theorema genoemd en is een gedeeltelijke oplossing van het zevende probleem van Hilbert.

Gevolg

Uit het theorema van Gelfond volgt dat de constante van Gelfond, namelijk $e^{\pi }$, een transcendent getal is.

Er geldt immers dat (zie formule van Euler): $(-1)^{-i}$ = $(e^{i\pi })^{-i}$ = $e^{\pi }$. Bovendien volgt uit het theorema van Gelfond dat $(-1)^{-i}$ transcendent is, aangezien -i een algebraïsch en irrationaal getal is. Bijgevolg is $e^{\pi }$ transcendent.