Kwadraat

Ieder kwadraat is grafisch als een vierkant weer te gegeven.

Het kwadraat (van Latijn: quadratus, vierkant) van een getal is een andere benaming voor de tweede macht van een getal. Het kwadraat wordt verkregen door het getal met zichzelf te vermenigvuldigen:

$a^{2}=a\cdot a$

Het kwadraat van een reëel getal is niet negatief:

$x\in \mathbb {R} \Longrightarrow x^{2}\geq 0$

Dit geldt niet algemeen: van bijvoorbeeld het complexe getal $i$ is het kwadraat:

$i^{2}=-1$

De kwadraten van de natuurlijke getallen noemt men kwadraatgetallen:

$1^{2}=1;\ 2^{2}=4;\ 5^{2}=25;\ \ldots$

Het verband met het begrip vierkant wordt duidelijk als men bedenkt dat de oppervlakte van een vierkant gelijk is aan het kwadraat van de lengte van de zijden.

De inverse van het kwadraat van niet-negatieve getallen is de vierkantswortel.

Voorbeelden

1² = 1 × 1 = 1

3² = 3 × 3 = 9

12² = 12 × 12 = 144

(−3)² = (−3) × (−3) = 9

$\left({\tfrac {1}{3}}\right)^{2}={\tfrac {1}{3}}\times {\tfrac {1}{3}}={\tfrac {1}{9}}$

$\left({\sqrt {3}}\right)^{2}=3$

Merkwaardige producten

Een aantal merkwaardige producten bestaat uit kwadraten:

• $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
• $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
• $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$

Som van opvolgende oneven getallen

De som van opvolgende oneven getallen levert de kwadraten:

Er geldt:

$\sum _{k=0}^{n-1}(2k+1)=2\sum _{k=0}^{n-1}k+n=2\cdot {\frac {n(n-1)}{2}}+n=n^{2}-n+n=n^{2}$, voor $n>0$.

De gelijkheid $\sum _{k=0}^{n-1}k={\frac {n(n-1)}{2}}$ kan onder meer met behulp van volledige inductie worden bewezen.

Uitgeschreven staat er:

• 1² = 1
• 2² = 1 + 3
• 3² = 1 + 3 + 5
• 4² = 1 + 3 + 5 + 7
• 5² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
• 6² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
• 7² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
• enz.

De oplopende verschillen $(n+1)^{2}-n^{2}=2n+1$ doorlopen alle oneven getallen, voor $n=25$ bijvoorbeeld:

${\begin{matrix}\longleftarrow &&26&&\longrightarrow &&\\\\\times &\times &\ldots &\times &\circ &\uparrow \\\times &\times &\ldots &\times &\circ &25\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\mid \\\times &\times &\ldots &\times &\circ &\downarrow \\\circ &\circ &\ldots &\circ &\circ \\\longleftarrow &&25\ \ \ &\longrightarrow &&\end{matrix}}$

$26^{2}-25^{2}=2\times 25+1$

Mediabestanden

Zie de categorie Squares (geometry) van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.