Pierce-expansie

De Pierce-expansie of Pierce-ontwikkeling van een reëel getal $x$ in het interval $(0,1)$ is de unieke, stijgende rij van positieve gehele getallen $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$ waarvoor geldt:

$x={\frac {1}{a_{1}}}-{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}-\ldots$

met afwisselend positieve en negatieve termen. Ze is genoemd naar de wiskundige T.A. Pierce van de universiteit van Nebraska, die ze in 1929 formuleerde.

Een Pierce-expansie van een getal is eindig dan en slechts dan als dat getal een rationaal getal is. Irrationale getallen hebben een oneindige Pierce-expansie.

Elke eindige of oneindige rij van stijgende positieve getallen $(a_{i})$ is de Pierce-expansie van een reëel getal tussen 0 en 1.

Als de expansie wordt afgebroken bij de $n$-de term is de fout ten hoogste gelijk aan de absolute waarde van de $(n+1)$-de term en dus zeker kleiner dan de absolute waarde van de $n$-de term.

De som van de oneven en van de even termen in de Pierce-expansie is respectievelijk een bovengrens en een ondergrens van het getal $x.$

Berekening

De Pierce-expansie kan men berekenen met het onderstaande algoritme:

• Stel $u_{0}=x$
• Bereken voor $k=1,2,3,\ldots$:
  • $a_{k}=\left\lfloor {\frac {1}{u_{k-1}}}\right\rfloor$
  • $u_{k}=1-a_{k}u_{k-1}$
• Stop zodra $u_{k}=0$

Daarrin is $\lfloor a\rfloor$ de entier van $a$.

Voorbeeld

De Pierce-expansie van $0{,}37$ geeft achtereenvolgens:

$u_{0}=0{,}37$

$a_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{0{,}37}}\right\rfloor =2$

$u_{1}=1-a_{1}u_{0}=1-2\cdot 0,37=0{,}26$

$a_{2}=\left\lfloor {\frac {1}{0,26}}\right\rfloor =3$

$u_{2}=1-a_{2}u_{1}=1-3\cdot {0{,}26}=0{,}22$

$a_{3}=\left\lfloor {\frac {1}{0{,}22}}\right\rfloor =4$

$u_{3}=1-a_{3}u_{2}=1-4\cdot {0{,}22}=0{,}12$

$a_{4}=\left\lfloor {\frac {1}{0{,}12}}\right\rfloor =8$

$u_{4}=1-a_{4}u_{3}=1-8\cdot {0{,}12}=0{,}04$

$a_{5}=\left\lfloor {\frac {1}{0{,}04}}\right\rfloor =25$

$u_{5}=1-a_{5}u_{4}=1-25\cdot {0{,}04}=0$

De Pierce-expansie van 0,37 is dus (2, 3, 4, 8, 25), en inderdaad is:

$0{,}37={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4}}-{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 8}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 8\cdot 25}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}-{\frac {1}{192}}+{\frac {1}{4800}}$

Voorbeelden

${\frac {1}{\pi }}=(3,22,118,383,571,635,70529,375687,399380,575584,\dots )$ - rij A006283 in OEIS

${\frac {1}{\sqrt {2}}}=(1,3,8,33,35,39201,39203,60245508192801,60245508192803,218662352649181293830957829984632156775201,\dots )$ - rij A091831 in OEIS

$\ln(2)=(1,3,12,21,51,57,73,85,96,1388,\dots )$ - rij A091846 in OEIS

${\frac {1}{e}}=(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,\dots )$ - rij A020725 in OEIS

De Pierce-expansie van $1/e$ is dus de reeks van natuurlijke getallen vanaf 2; en die van

$1-e^{-1}=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,\ldots )$ - de natuurlijke getallen.

Dit is de Pierce-expansie waarvan de termen het langzaamst kleiner worden. In het algemeen stijgen de getallen in een Pierce-expansie min of meer exponentieel.

Lengte van de Pierce-expansie

Het aantal elementen van de eindige Pierce-expansie van een rationaal getal $b/a,{\text{ met }}(b<a)$ is de lengte van de expansie, genoteerd als $P(a,b)$. $P(a)$ is de grootste lengte van de Pierce-expansies van alle rationale getallen $b/a$ met $b=1,\ldots ,a$:

$P(a)=\max\{P(a,b)\mid 1\leq b\leq a\}$

Verscheidene wiskundigen hielden zich bezig met de studie van de lengte van Pierce-expansies en van de verwante Engel-expansies, in het bijzonder met het bepalen van zo goed mogelijke boven- en ondergrenzen voor $P(a)$.

Shallit bewees dat $2{\sqrt {a}}$ een bovengrens is van $P(a)$.

Paul Erdős en Shallit gaven in 1991 een verbeterde asymptotische bovengrens, in grote-O-notatie:

$P(a)=O(a^{{\frac {1}{3}}+\delta })$

waarin $\delta$ een willekeurig klein positief reëel getal is.

Vlado Kešelj leidde in 1996 een nog betere bovengrens af:

$P(a)=O((a\cdot \log(a))^{\frac {1}{3}})$

Voor de asymptotische ondergrens van $P(a)$ vond hij:

$P(a)=O\left({\frac {\log(a)}{\log(\log(a))}}\right)$

Hierin is $\log$ de natuurlijke logaritme. Uit computerberekeningen bleek dat de bovengrens voor grote $a$ nog steeds een ruime overschatting is.

Zie ook

• Engel-expansie, analoog aan de Pierce-expansie maar met enkel positieve termen.

Externe link

• Wolfram MathWorld: Pierce Expansion

Bronnen, noten en/of referenties