Primtall

Et primtall er et naturlig tall større enn 1, som bare er delbart med seg selv (uten desimaler i resultatet) og 1. De første 30 primtallene (følge A000040 i OEIS) er

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109 og 113.

Med unntak av tall under 10 må alle primtall slutte på tallene 1, 3, 7 eller 9. Grunnen til dette er at alle partall kan deles på 2, mens alle tall som slutter på 5 eller 0 kan deles på 5.

Et naturlig tall større enn 1 som ikke er et primtall, kalles et sammensatt tall eller komposittall.

Primtall er et fundamentalt begrep innen tallteori. Ethvert positivt heltall større enn 1 kan skrives som et produkt av primtallsfaktorer på en entydig måte, såkalt primtallsfaktorisering. For eksempel er 60 = 2 × 2 × 3 × 5. Dette er kjent som aritmetikkens fundamentalteorem.

Euklid beviste at det finnes uendelig mange primtall. Beviset er et av de mest klassiske innen matematikken, og bruker bevismetoden reductio ad absurdum:

Anta at det finnes et endelig antall primtall. La N være produktet av alle primtallene, og betrakt tallet N+1. Siden alle primtallene deler N, kan det ikke finnes noe primtall som N+1 er delelig med. Men siden N+1, ifølge antagelsen, er større enn alle primtall, kan det ikke selv være et primtall. Dette er en motsigelse. Konklusjonen må være at antagelsen vi gikk ut fra, nemlig at det bare finnes et endelig antall primtall, er gal. Altså finnes det et uendelig antall primtall.

Det største kjente primtallet per januar 2016 er 2^74.207.281-1 og har  22.338.618 siffer. Det blir kalt «M74207281» fordi det er et såkalt Mersenne-primtall, disse følger mønsteret 2ⁿ-1. Electronic Frontier Foundation har delt ut pengepremier når primtall med flere enn en million og ti millioner siffer er funnet. Premier vil også bli utdelt til de som finner primtall med mer enn hundre millioner og tusen millioner siffer.

Det finnes en rekke subgrupper av primtall:

• palindromprimtall
• llatmirp

Diverse

2017 er for øvrig et primtall. De neste to “primtallsårene” er 2027 og 2029. Det var primtall 10 ganger på 1900-tallet, mens det i inneværende århundre vil være 14. Det fins 22 primtall før 100.

Feiring av de 7 primtallene mellom 30 og 60 – se ovenstående liste – faller innenfor sentrale begivenheter i et menneskes liv, slik som karriere og barn. Titallsystemet er ikke annet enn en konvensjon. Ikke alle er bundet av konvensjoner – i hvert fall ikke når det gjelder fødselsdagsfeiringer.

Se også

• Eratosthenes' sil, en metode for å finne primtallene.
• Sammensatt tall

Eksterne lenker

• Primtallkalkulator
• Dagbladet.no - Matematikerne er sjokkerte etter funnet av skjult mønster i tallrekka - «Primtallenes sammensvergelse».