Alternatywa Fredholma

Alternatywa Fredholma – twierdzenie Erika Fredholma z zakresu analizy funkcjonalnej dotyczące operatorów zwartych na przestrzeni Hilberta; odgrywa ono szczególną rolę przy badaniu istnienia i jednoznaczności rozwiązań pewnych równań całkowych. Dowód alternatywy Fredholma wykorzystuje twierdzenie o rzucie ortogonalnym oraz twierdzenie Schaudera o operatorze sprzężonym.

Twierdzenie

Niech $\scriptstyle K\colon H\to H$ będzie operatorem liniowym zwartym na przestrzeni Hilberta $\scriptstyle H$ (w szczególności jest on ograniczony, a więc ciągły). Jeżeli $\scriptstyle \ker$ i $\scriptstyle \mathrm {im}$ oznaczają odpowiednio jądro i obraz operatora, a $\scriptstyle I$ to operator identycznościowy, to

1. Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle \scriptstyle \dim \ker(I-K) < \infty,}
2. $\scriptstyle \mathrm {im} (I-K)$ jest domknięty,
3. Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle \scriptstyle \mathrm{im}(I-K) = \ker(I-K^*)^\perp,}
4. $\scriptstyle \ker(I-K)=\{0\}\Leftrightarrow \mathrm {im} (I-K)=H,$
5. $\scriptstyle \dim \ker(I-K)=\dim \ker(I-K^{*}).$

Wniosek

„Klasyczna” postać alternatywy Fredholma jest bezpośrednim wnioskiem z powyższego twierdzenia:

• równanie niejednorodne $\scriptstyle u-Ku=f$ ma dla każdego $\scriptstyle f\in H$ jednoznaczne rozwiązanie $\scriptstyle u\in H$

albo

• równanie jednorodne $\scriptstyle u-Ku=0$ ma rozwiązania $\scriptstyle u\neq 0.$

O tym, że oba powyższe warunki nie mogą zachodzić równocześnie mówi punkt 4. Ponadto równanie niejednorodne ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy $\scriptstyle f\in \ker(I-K^{\star })^{\perp }$, natomiast przestrzeń rozwiązań równania jednorodnego ma skończony wymiar.

Zobacz też

• operator Sturma-Liouville'a
• równanie całkowe Fredholma
• twierdzenie Hilberta-Schmidta

Bibliografia

• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2