Owal Cassiniego

Owale Cassiniego dla: a = 0,6c; a = 0,8c; a = c; a = 1,2c; a = 1,4c; a = 1,6c.

Owal Cassiniego – krzywa płaska będąca zbiorem punktów, dla których iloczyn odległości od dwóch ustalonych punktów (zwanych ogniskami) oddalonych o $2c$ jest stały i równy $a^{2}.$ Została opisana przez Giovanniego Cassiniego.

W szczególności:

• dla $a<c$ owal składa się z dwóch zamkniętych krzywych;
• dla $a=c$ owal jest lemniskatą Bernoulliego;
• dla $a>c$ owal jest jedną zamkniętą krzywą bez samoprzecięć, przy czym:
  • dla $c<a<{\sqrt {2}}c$ owal ma przewężenie i tym samym ma cztery punkty przegięcia, jest nazywany kassinoidą;
  • dla $a={\sqrt {2}}c$ owal ma krzywiznę równą $0$ w punktach równo oddalonych od ognisk;
  • dla $a>{\sqrt {2}}c$ owal jest krzywą elipsopodobną, ograniczającą na płaszczyźnie obszar wypukły.

Równania owalu Cassiniego:

• we współrzędnych kartezjańskich:

$(x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})+a^{4}-c^{4}$

• we współrzędnych biegunowych:

$r^{2}=a^{2}\cos 2\varphi \pm {\sqrt {a^{4}\cos ^{2}{2\varphi }-(a^{4}-c^{4})}}$

Zobacz też

• lista krzywych

Bibliografia

• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Nowoczesne kompendium matematyki. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2004. ISBN 83-01-14148-4. Brak numerów stron w książce s. 106–107

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cassini Ovals, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).