Pochodna kierunkowa – pochodna funkcji wielu zmiennych
x
=
[
x
1
,
…
,
x
n
]
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1},\ldots ,x_{n}]\in \mathbb {R} ^{n}}
wektora jednostkowego
u
=
[
u
1
,
…
,
u
n
]
.
{\displaystyle \mathbf {u} =[u_{1},\ldots ,u_{n}].}
pochodnej cząstkowej na dowolne kierunki, przy czym pochodne cząstkowe są tożsame z pochodnymi w kierunkach wektorów jednostkowych bazy układu współrzędnych .
Paraboloida , która jest wykresem funkcji
f
:
R
2
→
R
,
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,}
maksimum ; w punkcie tym zerują się pochodne w dowolnym kierunku, co jest warunkiem koniecznym istnienia maksimum.Niech dana będzie przestrzeń euklidesowa
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
podzbiór otwarty
A
.
{\displaystyle A.}
Pochodną kierunkową funkcji
f
:
A
→
R
{\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }
jednostkowego
u
=
[
u
1
,
…
,
u
n
]
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {u} =[u_{1},\ldots ,u_{n}]\in \mathbb {R} ^{n}}
x
=
[
x
1
,
…
,
x
n
]
∈
A
{\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1},\ldots ,x_{n}]\in A}
∂
f
(
x
)
∂
u
=
lim
t
→
0
f
(
x
+
t
u
)
−
f
(
x
)
t
,
{\displaystyle {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {u} }}=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {u} )-f(\mathbf {x} )}{t}},}
zakładając, że granica ta istnieje.
Okręgi przedstawiają linie o stałych wartościach funkcji
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
y
2
.
{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}.}
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
Twierdzenie:
Jeżeli istnieje gradient funkcji
∇
f
(
x
)
{\displaystyle \nabla f(\mathbf {x} )}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
f
{\displaystyle f}
różniczkowalna w
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
∇
f
=
[
∂
f
∂
x
1
,
…
,
∂
f
∂
x
n
]
,
{\displaystyle \nabla f=\left[{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right],}
to pochodna kierunkowa funkcji
f
{\displaystyle f}
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
iloczynowi skalarnemu gradientu funkcji
f
{\displaystyle f}
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
∇
u
f
(
x
)
=
∇
f
(
x
)
⋅
u
{\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }f(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {u} }
(1) Niech będzie dana funkcja
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
x
y
−
y
2
.
{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy-y^{2}.}
(2) Gradient funkcji
f
{\displaystyle f}
∇
f
(
x
,
y
)
=
[
∂
f
(
x
,
y
)
∂
x
,
∂
f
(
x
,
y
)
∂
y
]
=
[
2
x
+
y
,
x
−
2
y
]
.
{\displaystyle \nabla f(x,y)=\left[{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}},\ {\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right]=\left[2x+y,\ x-2y\right].}
(3) Pochodna kierunkowa funkcji
f
{\displaystyle f}
u
=
[
1
5
,
2
5
]
{\displaystyle \mathbf {u} =\left[{\frac {1}{\sqrt {5}}},\ {\frac {2}{\sqrt {5}}}\right]}
∇
u
f
(
x
,
y
)
=
∇
f
(
x
,
y
)
⋅
u
=
[
2
x
+
y
,
x
−
2
y
]
[
1
5
,
2
5
]
,
{\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot \mathbf {u} =\left[2x+y,\ x-2y\right]\left[{\frac {1}{\sqrt {5}}},\ {\frac {2}{\sqrt {5}}}\right],}
czyli
∇
u
f
(
x
,
y
)
=
1
5
(
2
x
+
y
)
+
2
5
(
x
−
2
y
)
=
4
x
−
3
y
5
.
{\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }f(x,y)={\frac {1}{\sqrt {5}}}(2x+y)+{\frac {2}{\sqrt {5}}}(x-2y)={\frac {4x-3y}{\sqrt {5}}}.}
Pochodna kierunkowa ma wiele własności identycznych jak zwykła pochodna . Wśród nich, dla funkcji
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
otoczeniu punktu
x
,
{\displaystyle \mathbf {x} ,}
różniczkowalne , słuszne są reguły:
(1) reguła sumy
∇
v
(
f
+
g
)
=
∇
v
f
+
∇
v
g
.
{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(f+g)=\nabla _{\mathbf {v} }f+\nabla _{\mathbf {v} }g.}
(2) reguła stałej: dla dowolnej stałej
c
∈
R
{\displaystyle c\in R}
∇
v
(
c
f
)
=
c
∇
v
f
.
{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(cf)=c\nabla _{\mathbf {v} }f.}
(3) reguła iloczynu (reguła Leibniza)
∇
v
(
f
g
)
=
g
∇
v
f
+
f
∇
v
g
.
{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(fg)=g\,\nabla _{\mathbf {v} }f+f\,\nabla _{\mathbf {v} }g.}
(4) reguła łańcuchowa : jeśli
g
{\displaystyle g}
x
,
{\displaystyle \mathbf {x} ,}
h
{\displaystyle h}
g
(
x
)
{\displaystyle g(\mathbf {x} )}
∇
v
(
h
∘
g
)
(
x
)
=
∇
h
(
g
(
x
)
)
∇
v
g
(
x
)
.
{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(h\circ g)(\mathbf {x} )=\nabla h{\bigl (}g(\mathbf {x} ){\bigr )}\nabla _{\mathbf {v} }g(\mathbf {x} ).}
(1) Definicja pochodnej w kierunku niejednostkowego i niezerowego wektora
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
∂
f
∂
v
(
x
)
=
lim
t
→
0
+
f
(
x
+
t
v
)
−
f
(
x
)
t
|
v
|
,
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}(\mathbf {x} )=\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{t|\mathbf {v} |}},}
gdzie
|
v
|
{\displaystyle |\mathbf {v} |}
v
.
{\displaystyle \mathbf {v} .}
(2) Twierdzenie
Gdy
f
{\displaystyle f}
x
,
{\displaystyle \mathbf {x} ,}
∇
v
f
(
x
)
=
∇
f
(
x
)
⋅
v
|
v
|
,
{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot {\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}},}
czyli pochodna ta jest identyczna jak dla wektora jednostkowego.
Uwaga:
Definicja pochodnej kierunkowej dla wektorów niejednostkowych jest niezgodna z notacją używaną w pozostałych działach matematyki, gdzie oczekuje się, iż pochodne algebry różniczkowej tworzą przestrzeń liniową .
Dla bardziej ogólnego przypadku pochodnej Frécheta
D
f
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {D} \!f(\mathbf {x} )}
∂
f
(
x
)
∂
u
=
D
f
(
x
)
(
u
)
{\displaystyle {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {u} }}=\operatorname {D} \!f(\mathbf {x} )(\mathbf {u} )}
Jeśli
{
e
1
,
…
,
e
n
}
{\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}
bazą standardową w
R
n
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
f
:
R
n
→
R
m
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}
u
=
e
i
{\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {e} _{i}}
pochodnej cząstkowej
x
i
,
{\displaystyle x_{i},}
∂
f
(
x
)
∂
e
i
=
∂
f
(
x
)
∂
x
i
,
{\displaystyle {\frac {\partial f(\mathrm {x} )}{\partial \mathbf {e} _{i}}}={\frac {\partial f(\mathrm {x} )}{\partial x_{i}}},}
gdzie
x
=
[
x
1
,
…
,
x
n
]
.
{\displaystyle \mathrm {x} =[x_{1},\dots ,x_{n}].}
Przestrzeń styczna
T
x
M
{\displaystyle T_{x}M}
M
{\displaystyle M}
x
{\displaystyle x}
v
∈
T
x
M
{\displaystyle v\in T_{x}M}
γ
{\displaystyle \gamma }
x
∈
M
.
{\displaystyle x\in M.}
Jeżeli:
(1 )
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
rozmaitości różniczkowej
M
,
{\displaystyle M,}
różniczkowalną w punkcie
x
→
{\displaystyle {\vec {x}}}
(2 )
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
wektor styczny do rozmaitości
M
{\displaystyle M}
x
→
{\displaystyle {\vec {x}}}
(3 ) odwzorowanie
γ
→
:
[
−
1
,
1
]
→
M
{\displaystyle {\vec {\gamma }}\colon [-1,1]\to M}
γ
→
(
τ
)
,
{\displaystyle {\vec {\gamma }}(\tau ),}
γ
→
(
0
)
=
x
→
{\displaystyle {\vec {\gamma }}(0)={\vec {x}}}
γ
→
′
(
0
)
=
v
→
,
{\displaystyle {\vec {\gamma }}\,'(0)={\vec {v}},}
to pochodną kierunkową w punkcie
x
→
{\displaystyle {\vec {x}}}
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
∇
v
→
f
(
p
)
=
d
d
τ
(
f
∘
γ
→
)
(
τ
)
|
τ
=
0
.
{\displaystyle \nabla _{\vec {v}}f(p)={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \tau }}(f\circ {\vec {\gamma }})(\tau ){\Big |}_{\tau =0}.}
Tw. Dowodzi się, że pochodna ta nie zależy od wyboru krzywej
γ
→
.
{\displaystyle {\vec {\gamma }}.}
Osobny artykuł: pochodna Gâteaux . Bezpośrednim uogólnieniem pochodnej kierunkowej na lokalnie wypukłe przestrzenie liniowo-topologiczne (w tym przestrzenie Banacha ) jest tzw. pochodna Gâteaux.
Istnieje wiele różnych oznaczeń pochodnej kierunkowej, np.
∂
f
∂
u
(
x
)
,
D
u
f
(
x
)
,
f
u
′
(
x
)
,
∇
u
f
(
x
)
,
u
∇
f
(
x
)
.
{\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial \mathbf {u} }}(\mathbf {x} ),\;\operatorname {D} _{\mathbf {u} }f(\mathbf {x} ),\;f'_{\mathbf {u} }(\mathbf {x} ),\;\nabla _{\mathbf {u} }f(\mathbf {x} ),\;\mathbf {u} \nabla f(\mathbf {x} ).}
Inne
Krzysztof Maurin : Analiza . Cz. I: Elementy. Warszawa: PWN, 1976. Brak numerów stron w książce Witold Kołodziej: Analiza matematyczna , Warszawa: PWN, 2009. 
![{\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1},\ldots ,x_{n}]\in \mathbb {R} ^{n}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/02c0f4af82d95209789484e8ed4a000a40a52cae)
![{\displaystyle \mathbf {u} =[u_{1},\ldots ,u_{n}].}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb19e6b4de0db9fc6bf73d115d42f6d68bef919e)
![{\displaystyle \mathbf {u} =[u_{1},\ldots ,u_{n}]\in \mathbb {R} ^{n}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e58809810ebeac4f10476c302a91b6f0208546)
![{\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1},\ldots ,x_{n}]\in A}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c58fdaf726c25e6bda74658191f791ae3e338d8)
![{\displaystyle \nabla f=\left[{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right],}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/c533dd0a1631b5d3656a14be7995ac509eda18da)
![{\displaystyle \nabla f(x,y)=\left[{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}},\ {\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right]=\left[2x+y,\ x-2y\right].}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e0894ea314cfd45de8bfabf7163472254a609f)
![{\displaystyle \mathbf {u} =\left[{\frac {1}{\sqrt {5}}},\ {\frac {2}{\sqrt {5}}}\right]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/60ac8df132dd3e3046259e342ac33b45612f08de)
![{\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot \mathbf {u} =\left[2x+y,\ x-2y\right]\left[{\frac {1}{\sqrt {5}}},\ {\frac {2}{\sqrt {5}}}\right],}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba79d8da4bdbe6b6c5b6cff095731d6acd434d09)
![{\displaystyle \mathrm {x} =[x_{1},\dots ,x_{n}].}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/df1e28d089141e307fcbc10a0d1c05c4d4ee739e)
![{\displaystyle {\vec {\gamma }}\colon [-1,1]\to M}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c8b6f0431fdfb460e811bfff8289d27d25a08f7)
