Toro (topologia)

Toro
Notação	$\mathbb {T} ^{2}$
Característica de Euler	0
Grupo fundamental	$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$
Homologia	$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$

Animação Toróide

Toro ou Toróide - é um espaço topológico homeomorfo ao produto de dois círculos. Apresenta o formato aproximado de uma câmara de pneu. Em geometria pode ser definido com o lugar geométrico tridimensional dos pontos que distam r de uma circunferência.

Formas de construir um toro

• Identificando os lados opostos de um quadrado sem os torcer.
• Identificando os lados opostos de um hexágono sem os torcer.

Geometria

Um toro pode ser imerso no $\mathbb {R} ^{3}\,$ como uma superfície algébrica do quarto grau.

Em coordenadas paramétricas, o toro é gerado por:

$x(u,v)=(R+r\cos {v})\cos {u}\,$

$y(u,v)=(R+r\cos {v})\sin {u}\,$

$z(u,v)=r\sin {v}\,$

em que

u, v estão no intervalo [0, 2π],

R é a distância do centro do tubo ao centro do toro,

r é o raio do tubo.

Em coordenadas cartesianas, o toro com simetria de rotação no eixo z tem equação:

$\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2},\,\!$

eliminando a raiz quadrada, chega-se a:

$(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2})^{2}=4R^{2}(x^{2}+y^{2}).\,\!$

A área da superfície e o volume do interior são dados por:

$A=4\pi ^{2}Rr=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)\,$

$V=2\pi ^{2}Rr^{2}=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right).\,$

As fórmulas da área e do volume são as mesmas de um cilindro circular de altura 2πR e raio da base r. Este cilindro é criado "cortando-se" o toro e estendendo-o pelo centro do tubo. As perdas em área e volume na parte interna são compensadas por ganhos na parte externa.

Propriedades topológicas

O toro é uma superfície topológica compacta, conexa e orientável, que pode ser representada por um polígono (no caso, quadrado) com uma orientação nas arestas, esta orientação representa a identificação das arestas, uma possível triangulação do toro é dada pela figura abaixo, na qual o toro é representado pelo quadrado com os lados identificados .

Triangulação do Toro

Podemos também uma triangularizar o bi-toro, que é uma soma conexa de dois toros, triangularizando a região poligonal que o representa, que é um polígono com uma orientação nas arestas, esta orientação determina como as arestas devem ser coladas para formar a figura topológica . Uma possível triangularização do bi-toro é dada pela figura abaixo:

Bi toro

Triangulação do Bi-Toro

Ver também

• Esfera
• Superfície

Referências

• NOCIONES DE GEOMETRIA ANALITICA Y ALGEBRA LINEAL, ISBN 9789701065969, Author: KOZAK ANA MARIA, POMPEYA PASTORELLI SONIA, VERDANEGA PEDRO EMILIO, Editorial: MCGRAW-HILL, Edition 2007, 744 pages, language; spanish
• Allen Hatcher. Algebraic topology. Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79540-0.
• V.V. Nikulin, I.R.Shafarevich. Geometries and Groups. Springer, 1987. ISBN 3540152814, ISBN 9783540152811.
• http://www.mathcurve.com/surfaces/tore/tore.shtml
• "Tore (notion géométrique)" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Ligações externas

• Creation of a torus em Cut-the-Knot
• "4D torus" Fly-through cross-sections of a four dimensional torus.
• "Relational Perspective Map" Visualizing high dimensional data with flat torus.
• "Torus Games" Free downloadable games for Windows and Mac OS X that highlight the topology of a torus.
• Polydos