Spațiu topologic

Pentru alte sensuri, vedeți Spaţiu (dezambiguizare).

Un spaţiu topologic este o mulţime pe care s-a definit o structură pe baza căreia se definesc noţiunile de vecinătate, convergenţă şi limită.

Ca definiţie formală, un spaţiu topologic este o pereche $(X,{\mathcal {T}})$, cu ${\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ (${\mathcal {P}}(X)$ desemnează mulţimea submulţimilor lui X), satisfăcând simultan următoarele proprietăţi:

1. $\emptyset \in {\mathcal {T}}$ şi $X\in {\mathcal {T}}$
2. dacă $A,B\in {\mathcal {T}}$, atunci $A\cap B\in {\mathcal {T}}$
3. dacă ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {T}}$, atunci $\bigcup {\mathcal {A}}\in {\mathcal {T}}$

Mulţimile din ${\mathcal {T}}$ se numesc mulţimi deschise. Proprietatea 1 spune că mulţimea vidă şi spaţiul însuşi trebuie să fie mulţimi deschise. Proprietatea 2 cere ca orice intersecţie de două mulţimi deschise să fie o mulţime deschisă; prin inducţie matematică rezultă de aici că intersecţia oricărei familii finite de mulţimi deschise este o mulţime deschisă. Proprietatea 3 cere ca reuniunea oricărei familii (nu neapărat finite) de mulţimi deschise să fie o mulţime deschisă.

Exemple

1. ${\mathcal {T}}=\{\emptyset ,X\}$ este topologia „cea mai grosieră” ce poate fi definită pe o mulţime.
2. ${\mathcal {T}}={\mathcal {P}}(X)$ este topologia „cea mai fină” ce poate fi definită, numită topologia discretă.
3. Dacă d este o funcţie distanţă (o metrică) definită pe X (X este un spaţiu metric), topologia indusă de metrica d are ca mulţimi deschise toate mulţimile care satisfac proprietatea că pentru fiecare punct există o bilă de rază nenulă inclusă în acea mulţime:

${\mathcal {T}}=\{A\in {\mathcal {P}}(X)|\forall x\in A,\exists \varepsilon \in (0,\infty ):B(x,\varepsilon )\subseteq A\}$

unde $B(x,\varepsilon )=\{y\in X|d(x,y)<\varepsilon \}$ este bila (deschisă) de centru x şi de rază $\varepsilon$.

Vecinătăţi

Articol principal: Vecinătate (matematică).

Se numeşte vecinătate a unui punct $x\in X$ al unui spaţiu topologic orice submulţime $V\subseteq X$ ce conţine o mulţime deschisă ce conţine punctul $x$: $\exists D\in {\mathcal {T}}\,:\ x\in D\subseteq V$.

Submulţimi speciale ale unui spaţiu topologic

Mulţimi închise

Articol principal: Mulţime închisă.

O submulţime a unui spaţiu topologic X se numeşte închisă dacă complementul său faţă de spaţiul X este o mulţime deschisă.

Din proprietăţile mulţimilor deschisă rezultă că mulţimea vidă, întreg spaţiul X, orice reuniune finită de mulţimi închise şi orice intersecţie (posibil infinită) de mulţimi închise este o mulţime închisă.

Mulţimi conexe

Articol principal: Conexitate (topologie).

O submulţime M a unui spaţiu topologic X se numeşte conexă dacă nu există nici o acoperire a ei prin două mulţimi deschise disjuncte:

$\not \exists A,B\in {\mathcal {T}},A\cap M\neq \emptyset ,B\cap M\neq \emptyset ,A\cap B=\emptyset ,A\cup B\supseteq M$

Pentru întregul spaţiu X, condiţia de conexitate este echivalentă cu aceea de-a nu avea altă submulţime simultan închisă şi deschisă decât mulţimea vidă şi întregul spaţiu.

Mulţimi compacte

Articol principal: Mulţime compactă.

O submulţime M a unui spaţiu topologic X se numeşte compactă dacă din orice acoperire deschisă a ei se poate extrage o acoperire finită. Mai exact, pentru orice familie ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {T}}$ satisfăcând $\bigcup {\mathcal {F}}\supseteq M$, există o subfamilie ${\mathcal {F}}_{0}\subseteq {\mathcal {F}}$ satisfăcând $\bigcup {\mathcal {F}}_{0}\supseteq M$.