Vinkel

En vinkel eller ett vinkelområde är ett område av ett plan, begränsat av två strålar, dvs delar av räta linjer som skär varandra. Strålarna utgör vinkelområdets rand, och kallas för vinkelns ben. Skärningspunkten (och ändpunkten för strålarna) kallas för vinkelspets. Vinkelbegreppet används inom trigonometri och geometri.

För att mäta vinklar ritas en cirkelbåge med centrum i vinkelspetsen. Radianmåttet för vinkeln är längden av bågen mellan vinkelbenen dividerad med cirkelns radie. Vanligen uttrycks dock vinkeln i grader

$\theta (rad)={\frac {b{a\!\!^{\circ }}gl{\ddot {a}}ngden}{radien}}$

$\theta (grader)={\frac {b{a\!\!^{\circ }}gl{\ddot {a}}ngden}{omkretsen}}\cdot 360$

Symbolen för enheten grad är en lite upphöjd cirkel (°).

Ibland, men inte så ofta, förekommer gradmåttet nygrader (gon).

I militära sammanhang har man använt vinkelmåttet streck (betecknas med en apostrof:'), utgående från att en meters sidoförskjutning på 1000 meters håll är ett streck. Av praktiska skäl avrundas 2π·1000 till 6300, och det går då 6300' på ett varv.

En vinkel kan maximalt utgöra hela planet, då vinkelbenen sammanfaller. Denna vinkel är då

• 2π radianer
• 360°
• 400 gon
• 6300'

Om vinkelbenen är delar av samma räta linje, men riktade åt olika håll, utgör vinkeln ett halvplan. En sådan vinkel kallas rak vinkel, och dess mått är

• π radianer
• 180°
• 200 gon
• 3150'

Om en rak vinkel delas mitt itu av en tredje stråle, bildas två räta vinklar. Dess mått är

• π/2 radianer
• 90°
• 100 gon
• 1575'

En normal är en linje som skär en given linje eller kurva i rät vinkel. "Rätvinklig mot" betecknas ⊥ (se figur 1).

Figur 1. Två vinkelräta linjer.
Den ena är normal till den andra.

Cirkeln

En grad (förtydligat vinkelgrad), vanligtvis betecknad med °, är ett mått på plana vinklar eller en position på en storcirkel (en cirkel på en sfär med mittpunkt som sammanfaller med sfärens mittpunkt) i en sfär, ex. jorden el. planetrörelser runt andra himlakroppar. En grad motsvarar 1/360 dels varv runt cirkelns - eller sfärens - omkrets (jfr jordens koordinatsystem).

• 1° motsvarar 1/360 varv runt periferin
• minuter, betecknas med apostrof ('), 1 minuter = 1/60 ° = 1/21 600 varv,
• sekunder , betecknas med dubbla apostrofer ("), 1 sekund = 1/60 minut = 1/1 296 000 varv.

Ex. motsvarar 40°12'13" 40 grader, 12 minuter och 13 sekunder, eller ungefär 11/100 varv runt jorden

I matematiska och tekniska sammanhang används ofta radianer. En grad motsvarar π/180 rad, och ett varv runt cirkel motsvarar 2π radianer.

Ett modernt vinkelmått anpassat efter decimala systemet är nygrader. 1 nygrad motsvarar 1/400 varv runt periferin:

• 90° motsvarar 100 nygrader (100^g),
• 1^g indelas i 100 nyminuter (100^c),
• 1^c indelas i 100 nysekunder (100^cc).

Annat som mäts i vinkelenheter

Vinklar är alltid mellan 0 och 360, men gradtal större än 360° och negativa värden är tänkbara i andra sammanhang:

• Vinkel - se ovan
• Riktning:
  • Kompassriktning (bäring) anges som grader för den vinkel som bildas räknat medurs från nordriktningen. Öster=90°, söder=180°, väster=270° och norr=360° eller 0°.
  • I ett polärt koordinatsystem räknas riktningen moturs från positiva första axeln (oftast x-axeln). I dessa fall kanman tänka sig riktningar i olika intervall såsom 0°<v<360°, -90°<v<270° eller -180°<v<180°.
• Vridning. Här kan vilka som helst värden tänkas. En vridning på 450° resulterar i samma riktning som en vridning på 90°, men först efter ett helt varvs vridning. (Alltså den vridning som minutvisaren på en klocka gör på 75 minuter.)

Vinkelmåttens historia

Gradmåttet där varvet delas in i 360 grader härstammar från det babyloniska räknesystemet, där talbasen var 60. Inte oväsentligt i sammanhanget är att ett år är drygt 360 dagar långt.

När matematisk analys utvecklades på 1600-talet, sökte man efter ett för differentialkalkylen lämpligare universellt mått, och införde radianbegreppet.

I decimalsystemets och SI-systemets anda ville man försöka införa nygrader, eftersom 100 nygrader på ett kvartsvarv ser mer naturligt ut än 90 grader. Detta har dock inte fått det genomslag som man en gång förväntade sig.

Det universella vinkelmåttet är radianer eftersom detta tar bort godtyckligheten i talet 360 inom gradsystemet och eftersom trigonometriska funktioner kan deriveras enkelt samt därmed uttryckas med enkla taylorserier om deras argument är specificerat i radianer. SI-systemet för enheter använder radianer som (den härledda) enheten för vinklar.

Fakta

• Summan av en triangels (inre tre) vinklar bildar beloppet 180°.
• Summan av en fyrhörnings (inre fyra) vinklar bildar beloppet 360°
• Summan av ett n-sidigt polygons (inre n) vinklar bildar beloppet (n - 2)·180° eller (n - 2)·π rad.
• Om summan av två vinklar är en rät vinkel (90°) brukar vinklarna kallas komplementvinklar.
• Om summan av två vinklar är en rak vinkel (180°) brukar vinklarna kallas supplementvinklar.
• Om summan av två vinklar är 360° brukar vinklarna kallas explementvinklar.

Den linje, som skär två eller flera andra linjer, kallas transversal (tvärlinje) till linjerna. I varje skärningspunkt bildas fyra vinklar.

• Två räta linjer som korsar varandra bildar fyra vinklar. Varje vinkel är likadan som motstående vertikalvinkel (se figur 2a), medan de övriga paren kallas sidovinklar och är supplementvinklar (se ovan).
• Om en rät linje korsar två parallella linjer bildas fler relationer. Likbelägna vinklar är lika stora, liksom alternatvinklar. Alternatvinklar är de vinklar som i figuren är vertikalvinklar till de markerade (se figur 2b), dvs de ligger mellan de parallella linjerna men på var sin sida om den skärande linjen.

Fil:Vinkel linjer som skärs.png

Figur 2a. Två räta linjer som korsar varandra i en gemensam punkt.

Fil:Vinkel linjer som korsas.png

Figur 2b. Tre räta linjer som sammanfaller i två punkter.