Cołkowańy bez tajle

Cołkowańy bez tajle – jedyn ze kńifůw rachowańo zawartych form cołek postoći:

$\int f(x)g(x)\mathrm {d} x\;$

Eli poradzymy wysznupać take $h(x)\,$, co $h^{\prime }(x)=f(x)\,$, to mogemy przełonaczyć ta cołka do postaći:

$\int f(x)g(x)\mathrm {d} x=\int h^{\prime }(x)g(x)\mathrm {d} x=h(x)g(x)-\int h(x)g^{\prime }(x)\mathrm {d} x\;$

Lo uoznoczůnych cołek grańice cołkowańo uwzglyndńo śe tyż we tajli růwnańo uostajůncej do cołki mino:

$\int \limits _{a}^{b}h'(x)g(x)\mathrm {d} x={\Big [}h(x)g(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}h(x)g^{\prime }(x)\mathrm {d} x$

Kńif cołkowańo bez tajle bjere śe ze mustra na pochodno iloczynu:

${\Big (}h(x)g(x){\Big )}^{\prime }=h(x)g^{\prime }(x)+h^{\prime }(x)g(x)$

$h^{\prime }(x)g(x)={\Big (}h(x)g(x){\Big )}^{\prime }-h(x)g^{\prime }(x)$

$\int h^{\prime }(x)g(x)\mathrm {d} x=h(x)g(x)-\int h(x)g^{\prime }(x)\mathrm {d} x$

Bajszpil zastosowańo kńifu cołkowańa bez tajle:

$\int x\sin x\mathrm {d} x=-x\cos x-\int x^{\prime }(-\cos x)\mathrm {d} x=\int \cos x\mathrm {d} x-x\cos x=\sin x-x\cos x+C$

Cołki zwrotne

Lo cołki ze iloczynu funkcyji, kerych kolyjne pochodne powtorzajům śe nazod a nazod, momy tmj. cołka zwrotno, lb.:

$\int e^{x}\cos x\mathrm {d} x=e^{x}\cos x+\int e^{x}\sin x\mathrm {d} x=e^{x}\cos x+e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x\mathrm {d} x$

Cołka we wyrażyńu po prawej zajće růwna śe cołce po lewej zajće, wjync

$2\int e^{x}\cos x\mathrm {d} x=e^{x}(\cos x+\sin x)+C$

$\int e^{x}\cos x\mathrm {d} x={1 \over 2}e^{x}(\cos x+\sin x)+C$

Uobocz tyż

• cołkowańy bez podstawjyńy