İçeriğe atla

Pertürbasyon teorisi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
11.15, 29 Temmuz 2009 tarihinde 212.175.160.13 (mesaj) tarafından oluşturulmuş 6111080 numaralı sürüm (Genel Tanım)

Tam olarak çözümlenemeyen bir problemin, bu probleme bağlı başka bir problemden yola çıkılarak yaklaşık bir çözüm elde etmek için matematiksel methodlar içeren teoridir. Pertürbasyon teorisi, kesin olarak çözümlenebilen problemin matematiksel tnaımına "küçük" bir terim eklenerek eldeki problem formüle edilebiliyorsa uygulanabilirdir.

Pertürbasyon teorisi, istenilen çözümün, kesin çözümlü problemin sapmasının miktarını belirleyen "küçük" parametrenin kuvvet serisi terimleri ile ifade edilmesine öncülük eder. Kuvvet serisinin ana terimi kesin çözümlü problemin çözümü diğer terimler ilk problemden sapma miktarına göre belirlenen çözümdeki sapmayı tanımlar.

e: küçük parametre

A: tam çözüm


Tam çözüme yaklaşımlı çözüm:


A=e0A0+e1A1+e2A2...


A0: kesin çözümlü problemin çözümü

A1,A2,... : higher order sistematik prosedürde tekrarlanarak bulunan terimler


Pertürbasyon çözümüne yaklaşım serileri kesmekle yapılır. Özellikle ilk iki terim A0+e1A1 de kesilebilir. Bu I. dereceden pertürbasyon düzeltmesi ve ilk çözümüdür.


Genel Tanım

Pertürbasyon teorisi eski bir yöntem olan nümerik analizde kullanılan methodlarla ilişkilidir. Pertürbasyon teorisinin ilk kullanımı gök mekaniğinin çözümlenemeyen matematiksel problemlerir ile başa çıkmadadır. (Gök mekaniği: Dünya ve Güneşin çekiminin hesaplanmasından sonra Kepler elipsinden farklı olarak hareket etiiği birkaça yıl sonra tanımlanan, Ayın yörüngesi için Newton'un çözümü)

Pertürbasyon methodları orijinal problemin "yeterince basit" olacak şekilde basitleştirilmesi ile başlar. Gök mekaniğinde bu genellikle kepler elipsidir. Elips, yalnızca iki çekimli kütle (sadece Ay ve Dünya) olduğunda doğru ancak üç ya da daha fazla kütle olduğunda tam doğru değildir (Dünya, Ay, Güneş ve Güneş sisteminin bir kısmı). Örneğin üçüncü bir kütlenin (Güneş gibi) yerçekimi etkisini içeren gerçek probleme en yakın çözümü sağlayan koşulları yapmak için basitleştirilmiş çözümün perturbed edilerek çözüldüğü söylenebilir. Koşullar gerçeği temsil eden bir ya da daha çok Newton'un ikinci kuralı (kuvvet-ivme denklemi) gibi fiziksel bir kanundan ortaya çıkan formüllerdir.

F= ma

Örneğe göre, F kuvveti çekimsel olarak ilişkili kütleler üzerinden hesaplanır, a ivmesi ise ayın yörüngesi üzerindeki yoldan hesap kullanılarak gözlemlenir. Bu ikisi de iki formda gelir: kuvvet ve ivmenin yaklaşık değerleri (basitleştirmelerin bir sonucu olarak) ve kuvvet ve ivmenin kuramsal kesin değerleri (hesaplanması için tam cevabı gereklidir).