Компактний простір

Компа́ктний про́стір — це такий топологічний простір, що для будь-якого його відкритого покриття знайдеться скінчене підпокриття.

В топології, компактні простори за своїми властивостями нагадують скінченні множини в теорії множин.

В математичному аналізі компактна множина — це обмежена й замкнута множина в $\mathbb {R} ^{n}$.

Пов'язані визначення

• Підмножину топологічного простору, що в індукованій топології є компактним простором, називають компактною множиною або компактом.
• Множину називають відносно компактною чи передкомпактною, якщо її замикання компактне.
• Локально компактний простір — топологічний простір, в якому будь-яка точка має окіл, замикання якого компактне.
• Секвенційно компактний простір — топологічний простір, у якому з кожної послідовності можна виділити збіжну підпослідовність.
• Зліченно компактний простір — топологічний простір, із кожного зліченного покриття якого можна виділити скінченне підпокриття.
• Слабко зліченно компактний простір — має таку властивість, що кожна нескінченна підмножина має граничну точку.

Властивості

Загальні властивості

• Кожна замкнена підмножина компактного топологічного простору є компактною
• Для будь-якого неперервного відображення образ компакта — компакт.
• Компактна підмножина гаусдорфового простору є замкнена.
• Теорема Тихонова: добуток довільного числа компактних множин (з топологією добутку) компактний.
• Будь-яке неперервне взаємно-однозначне відображення компакта в гаусдорфів простір є гомеоморфізмом.
• У компактних просторах кожне центроване сімейство замкнених множин, тобто сімейство, в якому перетини скінченних підсімейств не порожні, має непорожній перетин. Див. також Лема про вкладені відрізки.
• Кожна неперервна функція із компактного топологічного простору в $\mathbb {R} ^{n}$ є обмеженою і досягає свого найбільшого і найменшого значення.
• Образ компактного топологічного простору при неперервному відображенні також є компактним

Властивості компактних метричних просторів

• Метричний простір компактний тоді і тільки тоді, коли будь-яка послідовність точок в ньому містить підпослідовність, що збігається.
• Для скінченовимірних евклідових просторів підпростір є компактом тоді і тільки тоді, коли він обмежений і замкнений. Про простори, що мають таку властивість, говорять, що вони задовольняють властивості Гейне — Бореля. Див. також Теорема Больцано — Вейєрштрасса.
• Лема Лебега: Для будь-якого компактного метричного простору і відкритого покриття $\{V_{\alpha }\},\ \alpha \in A$ існує додатне число $\,\!r$ таке, що будь-яка підмножина, діаметр якої менший за $\,\!r$, міститься в одній з множин $\,\!V_{\alpha }$. Таке число називають числом Лебега.
• У компактних просторах кожен ультрафільтр збігається принаймні до однієї точки.
• Для метричних просторів наступні твердження є еквівалентними: компактність; повнота та цілком обмеженість; секвенційна компактність; зліченна компактність.

Приклади компактних множин

• в будь-якому топологічному просторі множина, що складається з однієї точки, а також будь-яка скінченна, завжди компактна.
• замкнені й обмежені множини в $\mathbb {R} ^{n}$
• теорема Асколі — Арцела дає характеризацію компактних множин для деяких функціональних просторів. Розглянемо простір $C(X)$ неперервних функцій на метричному компактному просторі $X$ з нормою $\|f\|=\sup _{x}|f(x)|$. Тоді замикання множини функцій $F$ в $C(X)$ компактне тоді і тільки тоді, коли $F$ рівномірно обмежена і рівностепенево (одностайно) неперервна.
• простір Стоуна булевої алгебри
• компактифікація топологічного простору
• Компактні групи Лі

Історія

Бікомпактний простір — термін, введений П. С. Александровим як посилення введеного М.Фреше поняття компактного простору: топологічний простір компактний — в первинному смислі слова — якщо в кожному зліченному відкритому покритті цього простору міститься його скінченне підпокриття. Проте подальший розвиток математики показав, що поняття бікомпактності настільки важливіше за первинне поняття компактності, що в наш час під компактністю розуміють саме бікомпактність, а компактні в старому смислі простори називають зліченно-компактними. Обидва поняття рівносильні в застосуванні до метричних просторів.

Див. також

• Компактифікація Стоуна — Чеха
• Локально компактний простір
• Одноточкова компактифікація
• Теорема Александрова про компактифікацію

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)