Пи

$π$ („пи“, деб талаффуз қилинади) сони — айлана узунлигининг диаметрига нисбати; иррационал сон ва транссендент (яъни бутун коэффициентли алгебраик тенглама илдизи бўлмаган) сон.

Айлана узунлиги, доира юзи, айланма жисмлар ҳажмини ҳисоблашда қўлланади^[1].

$π$ сони айлана узунлигининг унинг диаметрига нисбати сифатида аввало геометрияда пайдо бўлган, бироқ ҳозирда у математиканинг бошқа бўлимларида ҳам ишлатилади. $π$ сони иррационал ҳамда транссендентдир.

Бу сонни грек харфи $π$ билан биринчи бол`иб инглиз математиги Жонсон белгилашни бошлаган (1706), Леонард Эйлернинг меҳнатларидан сўнг эса бундай белгилаш машҳур бўлиб кетди.

Бундай белгилаш юнонча $\pi \varepsilon \rho i\varphi \varepsilon \rho i\alpha$ — периферия сўзининг бош ҳарфидан олинган.

Сони

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510…^[2]

Тарихи

$π$ иррационал сонини на бутун сон, на арифметик каср сифатида аниқ ифодалаш мумкин эмас. чексиз ва даврий бўлмаган ўнли касрлар билан ифодаланади. $π$ сони айлана периметрининг унинг диаметрига нисбатидир. Қадимги юнон математиги Архимед π нинг қийматини учта касргача ҳисоблаган. Клавдий Птолемей π нинг қийматини тўртинчи касргача кўрсатди. Ўша даврда π нинг қиймати эквивалентларда ифодаланган, шундан бери ўнли каср йўқ эди. Кейинги 1500 йил давомида ғарбий дунёда π нинг аниқроқ қийматини олишда муваффақиятга эришилмади. Бироқ, айни пайтда қадимги Хитойда, аксинча, $π$ сонининг қийматини ҳисоблаш соҳасида сезиларли ютуқлар мавжуд эди. Қадимги Хитой математиклари $π$ сонининг тахминий қийматини олиш учун барча усулларни синаб кўрдилар. Усуллардан бири қуйидагича эди: айлана чизиш, унга мунтазам кўпбурчак ёзиш. Кўпбурчакнинг қанчалик кўп томонлари бўлса, кўпбурчакнинг майдони ва доира майдони ўртасидаги фарқ шунчалик кичик бўлади. Доира майдони πр² формуласи билан ифодаланади, бу ерда $р$ радиусини ўлчаш орқали аниқ ҳисоблаш мумкин. Шундай қилиб, кўпбурчакнинг майдони айлананинг майдонига яқинлашганда, π сонининг тахминий қиймати олинади. Архимед айлана ичига мунтазам 96 бурчакли бурчакни ёзди, натижада шундай қиймат ҳосил бўлди: 3,140 <π< 3,142. Қадимги хитойликларнинг ҳисоблаш усули Архимед усулидан фарқ қилмади, лекин улар аниқроқ қиймат олдилар. Вей ва Жин сулолаларининг ўзгариши даврида яшаган Лю Хуй худди шу усул билан қийматни ҳисоблаб чиқди. Лю Хуй даврида одамлар айлана периметрининг унинг диаметрига нисбати 3:1 га тенг деб ҳисоблашган, бу айлана ичига чизилган мунтазам 6 бурчакли периметрнинг доира диаметрига нисбатини билдиради ва π қиймати эмас. 3:1 нисбатга асосланган доиранинг ҳисобланган майдони ҳақиқий майдон эмас. Ўша пайтда одамлар доира майдони „ярим периметр х диаметр“ формуласи ёрдамида ҳисобланишини аллақачон билишган. Диаметри тўғри чизиқдир, назарий жиҳатдан унинг қиймати аниқ ўлчов билан ҳисобланиши мумкин. Шундай қилиб, айлананинг майдонини ҳисоблаш учун айлананинг майдонини билиш керак. Бироқ, доира эгри чизиқ бўлиб, уни тўғридан-тўғри ўлчаш мумкин эмас. Шунинг учун, одамлар айлана периметрини ўлчаш ўрнига, оддий 6-бурчакни айлана ичига сиғдириш усулини ўйлаб топишди, аммо бу усул ечимда хатоликни келтириб чиқаради. Эгри чизиқни қандай қилиб тўғри чизиққа айлантириш мумкин? Шу муносабат билан, Лиу Хуи таъкидлади: маълум бир доира ичига ёзилган мунтазам кўпбурчакнинг томонлари сонининг чексиз кўпайиши билан унинг томонининг узунлиги айлананинг периметрига интилади. Шунинг учун айлана ичига чизилган мунтазам кўпбурчак томонларининг узунлиги айлананинг периметри ўрнини босувчи бўлиб хизмат қилади. Лиу Хуининг усули „айланани бўлиш“ деб аталади. Лиу Хуи ўз фикрини ҳаётга олиб келди: у $π$ қийматини ҳисоблаш жараёнида „айлана бўлиниши“ усулидан фойдаланган. 6 бурчакдан бошлаб, у кўпбурчакнинг томонларини қайта-қайта оширди, бунинг натижасида у 12-бурчак, 24-бурчак, 48-бурчак, 96-бурчак ва ҳатто 192-бурчак. Шундай қилиб, у $π$ 3,141024 қийматини олди. Ҳисоблаш пайтида у „3.14“ қийматини қўллади. Далил топиш учун у кўпбурчакнинг томонларини 3072 га оширди. Шубҳасиз, айланага чизилган 3072 бурчакли бурчакнинг майдони айлананинг ҳақиқий майдонига яқинроқ. Шундай қилиб, Лиу Хуи $π$ қийматини 3,1416 аниқлик билан олди, бу юнонлар томонидан олинган натижалардан анча аниқроқдир. Лиу Хуз томонидан олинган $π$ қиймати бир вақтлар дунёдаги энг аниқ бўлган. Аммо Лю Хуининг ҳиссаси нафақат бу эди. У $π$ қийматини ҳисоблашнинг илмий усулини яратиб, математиканинг ривожланишига ҳисса қўшди. Унинг иши туфайли $π$ нинг маъносини энг чуқур ўрганиш учун мустаҳкам назарий асос яратилди. Агар авлодлар унинг усули бўйича ҳисоблашда давом эцалар, улар аниқроқ қийматга эга бўлишади. Бундан ташқари, унинг назариясида чизиқли ва эгри чизиқли трансформациялар ҳақида кўпроқ тушунарли фикр мавжуд. Чизиқли ва эгри чизиқли ўзгаришлар эса дифференциал ва интеграл ҳисоблаш назариясининг манбаи ҳисобланади.

Тенгликлар

$π$ сони қатнашган кўпгина тенгликлар мавжуд, масалан:

Франсуа Виэт, 1593:

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\ldots

Лейбниц қатори:

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}

Эйлер айнияти:

e^{\pi i}+1=0\;

Ҳисоблаш усуллари

Файл:АрчимедесПи.пнг

$π$ сонини математик ҳисоблаб чиқаришни Архимед биринчи бўлиб таклиф қилган, деб тахмин этилади. Бунинг учун у айлана ва унга ташқи ва ички чизилган мунтазам ко`пбурчаклардан фойдаланган. Айлана диаметрини бир, деб ҳисоблаб, Архимед ташқи чизилган кўпбурчак периметрини $π$ сонининг юқори, ички чизилган кўпбурчак периметрини эса қуйи қиймати, деб кўрар эди. Масалан, олтибурчак учун (расмга қаранг) $3<\pi <2{\sqrt {3}}$ тенгсизлик келиб чиқади.

Архимед 96 бурчакли мунтазам кўпбурчак учун $3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}$ тенгсизликни келтириб чиқарди.

Араб математиги Ғиёсиддин Жамшид ибн Мақсуд ал-Коший 1424-йилда ёзиб битирган „Айлана ҳақидаги трактат“ китобида $π$ сонини 17 хона аниқликда келтиради.

Лудолф ван Сейлен (1536—1610) $π$ сонини 20 хона аниқликда хисоблаб чиқариш учун ўн йил сарфлади (1596 йилда чоп этилган „Айлана ҳақида“ („Ван ден Cиркел“) китобида). Архимед усулини қўллаб, у н бурчакли кўпбурчак ишлатди, бу ерда $n=60*2^{2}9$ . Лудолф китобини ушбу сўзлар билан якунлади: „Кимнинг хоҳиши бўлса, давом эттираверсин“. Унинг ўлимидан сўнг қўлёзмаларида $π$ сонинг яна 15 рақами топилди. Лудолф қабртошига шу сонларни ёзиб қўйишни васият қилган. Баъзан $π$ сонини „Лудолф сони“, деб ҳам аташади.

Кейинчалик $π$ сонини ҳисоблаш учун аналитик усуллардан фойдаланишга ўтишди.

Биринчи самарали формулани 1706 йилда Жон Мечин (Жоҳн Мачин) таклиф қилди:

{\frac {\pi }{4}}=4\mathrm {arctg} {\frac {1}{5}}-\mathrm {arctg} {\frac {1}{239}}

Арктангенсни Тейлор қаторига ёйиб, $π$ сонини катта аниқликда топишга имкон эрувчи яқинлашувчи қаторга келтириш мумкин.

Раманужан ва Чудновский алгоритмлари эса янада тезроқ ишлайди:

{\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}

{\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}

Транссендентлик ва иррационаллик

$π$ сонинг иррационаллигини биринчи бўлиб Иоҳанн Ламберт 1767 йилда ${\frac {e-1}{2^{n}}}$ сонини узлуксиз касрга ёйиб исботлаган. 1794 йилда Лежандр $π$ ва $\pi ^{2}$ сонларининг иррационал эканлигига янада қатъий исботлар келтирди.

1882 йилда Кёнигберг, кейинчалик Мюнҳен университетлари профессори Фердинанд Линдеман $π$ сонининг транссендентлигини исботлади.Феликс Клейн в 1894да бу исботни соддалаштирди.

$π$ сонининг транссендентлиги аниқлангач, 2,5 минг йилдан кўп вақт давом этиб келаётган доира квадратураси масаласининг Евклид геометриясида ечими йўқлиги кўриниб, бу ҳақдаги баҳсларга чек қўйилди.

Норасмий байрамлар

„Пи Куни“ (ингл. Пи Дай) 14-мартда нишонланади, чунки бу кун Америка саналар форматида 3.14 шаклида ёзилади, бу эса Пи сонининг тақрибий қийматидир.

Пига боғлиқ яна бир норасмий байрам — „Тақрибий Пи Куни“ (ингл. Пи Аппрохиматион Дай) 22-июлда ўтказилади, чунки бу кун Европа саналар форматида 22/7 шаклида ёзилади, бу эса Пи сонинг каср шаклидаги тақрибий қийматидир.

Яна қаранг

Радиан

Манбалар

↑ ЎзМЕ. Биринчи жилд. Тошкент, 2000-йил
↑ Арндт & Ҳаэнел 2006, с. 240.

Ҳаволалар

$π$ сони миллион хона аниқликда (Wайбаcк Мачине сайтида 2007-01-26 санасида архивланган)
$π$ сони 200 миллион хона аниқликда (Wайбаcк Мачине сайтида 2011-08-29 санасида архивланган)
Пи Арбуз.уз да
Пи-меморй (Wайбаcк Мачине сайтида 2008-03-19 санасида архивланган)

[1] ЎзМЕ. Биринчи жилд. Тошкент, 2000-йил

[FOOTNOTEArndtHaenel2006240-2] Арндт & Ҳаэнел 2006, с. 240.

[1]

[2]