联络 (向量丛)

  本文关于向量丛上的联络；关于数学中其他联络参见主条目联络。

在数学中，纤维丛上一个联络是一个定义丛上平行移动的装置；即将邻近点连接或等价的一种方法。如果纤维丛是向量丛，则平行移动的概念要求线性。这样的联络等价于一个共变导数，共变导数是一个能对截面关于底流形的切方向微分算子。联络在这个意义下，对任意向量丛，推广了光滑流形切丛的线性联络概念，经常叫做线性联络。

向量丛上的联络也经常称为科斯居尔联络，以让-路易·科斯居尔命名，他给出了描述这个联络的一个代数框架 (Koszul 1950)。

形式定义

设 E → M 是光滑流形 M 上的光滑向量丛。记 E 的光滑截面的空间为 Γ(E)。E 上一个联络是一个 R-线性映射

$\nabla :\Gamma (E)\to \Gamma (E\otimes T^{*}M),$

使得莱布尼兹法则

$\nabla (\sigma f)=(\nabla \sigma )f+\sigma \otimes df$

对 M 上所有光滑函数 f 与 E 的所有光滑截面 σ 成立。

如果 X 是 M 上一个切向量场（即切丛 TM 的一个截面），我们可以定义一个沿着 X 的共变导数：

$\nabla _{X}:\Gamma (E)\to \Gamma (E)$

通过缩并 X 与联络 ∇ 中的共变指标（即 ∇_Xσ = (∇σ)(X)）。共变导数满足如下性质：

${\begin{aligned}&\nabla _{X}(\sigma _{1}+\sigma _{2})=\nabla _{X}\sigma _{1}+\nabla _{X}\sigma _{2}\\&\nabla _{X_{1}+X_{2}}\sigma =\nabla _{X_{1}}\sigma +\nabla _{X_{2}}\sigma \\&\nabla _{X}(f\sigma )=f\nabla _{X}\sigma +X(f)\sigma \\&\nabla _{fX}\sigma =f\nabla _{X}\sigma \end{aligned}}.$

反之，任何满足如上性质的算子定义了 E 上一个联络，联络在这种意义下也称为 E 上的共变导数。

向量值形式

设 E → M 是一个向量丛。一个 r 阶 E-值微分形式是张量积丛 E⊗Λ^rT*M 的一个截面。这种形式的空间记作

$\Omega ^{r}(E)=\Gamma (E\otimes \Lambda ^{r}T^{*}M).$

一个 E-值 0-形式就是 E 的一个截面，即

$\Omega ^{0}(E)=\Gamma (E).$

在这种记法下，E → M 上一个联络是线性映射

$\nabla :\Omega ^{0}(E)\to \Omega ^{1}(E).$

这样一个联络看作向量丛值形式的外导数的推广。事实上，给定 E 上一个联络 ∇ 有惟一的一种方法将 ∇ 延拓成共变外导数（covariant exterior derivative）或称外共变导数

$d^{\nabla }:\Omega ^{r}(E)\to \Omega ^{r+1}(E).$

不像通常的外导数，这里不必有 (d^∇)² = 0 。事实上，(d^∇)² 与联络 ∇ 的曲率直接相关，参见下面。

仿射性质

任何向量丛上都有联络，但是联络不是惟一的。如果 ∇₁ 与 ∇₂ 是 E → M 上两个联络则他们的差是一个 C^∞-线性算子。即

$(\nabla _{1}-\nabla _{2})(f\sigma )=f(\nabla _{1}\sigma -\nabla _{2}\sigma )$

对 M 上所有光滑函数 f 与 E 的所有截面 σ 成立。从而推出差 ∇₁ − ∇₂ 由 M 上一个取值于自同态丛 End(E) = E⊗E* 的 1-形式诱导

$(\nabla _{1}-\nabla _{2})\in \Omega ^{1}(\mathrm {End} \,E).$

反之，如果 ∇ 是 E 上一个联络而 A 是 M 上取值为 End(E) 的 1-形式，则 ∇+A 是 E 上一个联络。

换句话说，E 上联络的空间是一个对 Ω¹(End E) 的仿射空间。

与主丛及埃雷斯曼联络的关系

设 E → M 是一个秩 k 向量丛，令 F(E) 是 E 的主标架丛。则 F(E) 上一个（主）联络诱导了 E 上一个联络。首先注意到 E 的截面与左等变映射 F(E) → R^k 一一对应（这由考虑 E 在F(E) → M 上的拉回可以看出来，同构于平凡丛 F(E) × R^k）。给定 E 的一个截面 σ，设对应的等变映射为 ψ(σ)。则 E 上的共变导数由

$\psi (\nabla _{X}\sigma )=X^{H}(\psi (\sigma ))$

给出，这里 X^H 是 X 的水平提升（回忆到水平提升由 F(E) 上一个联络确定）。

反之，E 上一个联络确定了 F(E) 上一个联络，且这两个构造是互逆的。

E 上一个联络也等价地由 E 上一个线性埃雷斯曼联络确定。这提供了构造相关的主联络的一个方法。

局部表示

设 E → M 是一个秩 k 向量丛，令 U 是 M 的一个开子集使得 E 在 U 上平凡。 给定 E 在 U 上一个局部光滑标架 (e₁, …,e_k)，E 的任何截面 σ 可写成 $\sigma =\sigma ^{\alpha }e_{\alpha }$ (Einstein notation assumed)。那么 E 上一个联络限制在 U 上具有形式：

$\nabla \sigma =(\mathrm {d} \sigma ^{\alpha }+{\omega ^{\alpha }}_{\beta }\sigma ^{\beta })e_{\alpha }$

这里

${\omega ^{\alpha }}_{\beta }\,e_{\alpha }=\nabla e_{\beta }.$

这里 ω^α_β 定义了一个 k × k' 矩阵，矩阵元取值为U 上的 1-形式。事实上，给定任何如上形式的矩阵定义了 E 限制在 U 上一个联络。这是因为 ω^α_β 确定了一个 1-形式 ω 取值于 End(E)，这个表达式定义 ∇ 为联络 d+ω，这里 d 是 E 在 U 上的平凡联络（定义为用局部标架对截面微分）。在这种情景下 ω 也称为 ∇ 关于这个局部标架的联络形式。

如果 U 是一个具有坐标 (xⁱ) 的坐标邻域，则我们可以写成

${\omega ^{\alpha }}_{\beta }={{\omega _{i}}^{\alpha }}_{\beta }\,\mathrm {d} x^{i}.$

注意坐标与纤维指标在表达式中混合在一起。系数函数 ω_i^α_β 对指标 i 具有张量性（它们定义了一个 1-形式）但对指标 α 与 β 不是。对纤维指标的变换法则更加复杂。设 (f₁, …,f_k) 是 U 上另一个光滑局部标架，将坐标变换矩阵记作 t（即 f_α = e_βt^β_α）。关于标架(f_α) 的联络矩阵由矩阵表达式给出

$\varpi =t^{-1}\omega t+t^{-1}\mathrm {d} t.$

这里 dt 是对 t 的分量取外导数得到的 1-形式矩阵。

此局部坐标中关于这个局部标架场 (e_α) 的共变导数由如下表达式给出：

$\nabla _{X}\sigma =X^{i}(\partial _{i}\,\sigma ^{\alpha }+{{\omega _{i}}^{\alpha }}_{\beta }\sigma ^{\beta })e_{\alpha }.$

平行移动与和乐

A connection ∇ on a vector bundle E → M defines a notion of parallel transport on E along a curve in M. Let γ : [0, 1] → M be a smooth path in M. A section σ of E along γ is said to be parallel if

$\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}\sigma =0$

for all t ∈ [0, 1]. More formally, one can consider the pullback γ*E of E by γ. This is a vector bundle over [0, 1] with fiber E_γ(t) over t ∈ [0, 1]. The connection ∇ on E pulls back to a connection on γ*E. A section σ of γ*E is parallel if and only if γ*∇(σ) = 0.

Suppose γ is a path from x to y in M. The above equation defining parallel sections is a first-order ordinary differential equation and so has a unique solution for each possible initial condition. That is, for each vector v in E_x there exists a unique parallel section σ of γ*E with σ(0) = v. Define a parallel transport map

$\tau _{\gamma }:E_{x}\to E_{y}\,$

by τ_γ(v) = σ(1). It can be shown that τ_γ is a linear isomorphism.

Parallel transport can be used to define the holonomy group of the connection ∇ based at a point x in M. This is the subgroup of GL(E_x) consisting of all parallel transport maps coming from loops based at x:

$\mathrm {Hol} _{x}=\{\tau _{\gamma }:\gamma {\text{ is a loop based at }}x\}.\,$

The holonomy group of a connection is intimately related to the curvature of the connection.

曲率

E → M 上联络 ∇ 的曲率是一个 M 上 2-形式 F^∇，取值于自同态丛 End(E) = E⊗E*，即

$F^{\nabla }\in \Omega ^{2}(\mathrm {End} \,E)=\Gamma (\mathrm {End} \,E\otimes \Lambda ^{2}T^{*}M).$

曲率定义为表达式

$F^{\nabla }(X,Y)(s)=\nabla _{X}\nabla _{Y}s-\nabla _{Y}\nabla _{X}s-\nabla _{[X,Y]}s$

这里 X 与 Y 是 M 上的切向量场，s 是 E 的一个截面。可以验证 F^∇ 对 X 与 Y 都是 C^∞-线性的，从而确实定义了一个 E 的丛同态。

正如上面所提及的，共变外导数 d^∇ 作用在 E 值形式上的平方不必是零。无论如何算子 (d^∇)² 严格有张量性（即 C^∞-线性）。这意味着它由一个取值于 End(E) 的 2-形式诱导，这个 2-形式恰好就是如上给出的曲率形式。对一个 E-值形式 σ 我们有

$(d^{\nabla })^{2}\sigma =F^{\nabla }\wedge \sigma .$

一个平坦联络是曲率形式恒等于零的联络。

例子

• A classical covariant derivative or affine connection defines a connection on the tangent bundle of M, or more generally on any tensor bundle formed by taking tensor products of the tangent bundle with itself and its dual.
• The Levi-Civita connection is a connection on the tangent bundle of a Riemannian manifold.
• The exterior derivative is a flat connection on E = M × Rⁿ (the trivial vector bundle over M).
• More generally, there is a canonical flat connection on any flat vector bundle (i.e. a vector bundle whose transition functions are all constant) which is given by the exterior derivative in any trivialization.

参考文献

• Chern, Shiing-Shen, Topics in Differential Geometry, Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes, 1951 
• Darling, R. W. R., Differential Forms and Connections, Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-46800-0 
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley Classics Library, New York: Wiley-Interscience, 1996 [1963], ISBN 0-471-15733-3 
• Koszul, J. L., Homologie et cohomologie des algebres de Lie, Bulletin de la Société Mathématique, 1950, 78: 65–127 
• Wells, R.O., Differential analysis on complex manifolds, Springer-Verlag, 1973, ISBN 0-387-90419-0