Інтегра́льна теоре́ма Коші́ (також теорема Коші — Гурса) — одна з основних теорем комплексного аналізу. Перші варіанти теореми сформулював та довів Оґюстен-Луї Коші у 1825 році, при слабших вимогах теорему довів французький математик Едуард Гурса у 1883 році.
Нехай диференційовна в однозв’язній області і її похідна неперервна в цій області (у будь-якій точці цієї області). Тоді інтеграл від по будь-якій замкненій простій кривій , яка лежить в області , дорівнює нулю:
Згідно з властивістю інтегралу:
Оскільки має неперервну похідну першого порядку в області , то частинні похідні від U та V також є неперервними в області
Згідно теореми Гріна тоді інтеграли по контуру можна замінити на інтеграли по області (позначимо її R), яку обмежує цей контур, а саме:
Оскільки є голоморфною функцією, то виконуються умова Коші-Рімана:
- і
Із цих рівностей випливає рівність нулю двох інтегралів у правій частині інтегральної рівності, а тому також
Варіант теореми Коші — Гурса для трикутників
[ред. | ред. код]
Якщо функція f є голоморфною в області , то інтеграл від f no орієнтованій границі будь-якого трикутника є рівним 0:
У даному варіанті не вимагається неперервність похідної у області.
Нехай твердження теореми не виконується і існує трикутник такий, що
Припустимо, що границя яка є кусково гладкою кривою) є орієнтована проти годинникової стрілки.
Розіб'ємо трикутник на чотири трикутники середніми лініями і введемо на границях цих трикутників орієнтацію проти годинникової стрілки.
Очевидно, що інтеграл від f по дорівнює сумі інтегралів по границях малих трикутників, бо інтеграли по середніх лініях беруться двічі в протилежних напрямках і тому взаємно скорочуються, а інші границі утворюють із відповідною орієнтацією. Тому знайдеться хоча б один малий трикутник для якого
Трикутник знову можна розбити середніми лініями на чотири трикутника і, як і вище, серед них є хоча б один такий, що
За індукцією побудуємо послідовність вкладених один в одного трикутників таких, що для інтеграла по границі -го трикутника виконується нерівність:
Послідовність вкладених трикутників має спільну точку Очевидно і функція f є голоморфною в точці Тому з означення комплексної похідної для будь-якого знайдеться таке, що для всіх точок околу у рівності
для функції g виконується нерівність
Усі трикутники побудованої послідовності починаючи з деякого належать околу V. Тому
Але перші два інтеграли справа є рівними нулю оскільки множники і можна винести за знак інтеграла, а інтеграли від 1 і по замкнутому контуру є рівними 0.
Оскільки для всіх і також для всіх величина не перевищує периметра трикутника то
Але за побудовою де позначає периметр трикутника тож також
і враховуючи, що остаточно
Із довільності числа випливає, що M = 0 всупереч припущенню.
Нехай тепер є точками у області на якій функція є голоморфною і замкнута опукла оболонка цих точок є підмножиною Позначимо орієнтовану замкнуту ламану лінію (можливо із самоперетинами) одержану із відрізків, що сполучають точки і (із відповідним напрямком) і відрізку із точки до точки Тоді:
Для (коли ламана лінія є точкою) і (коли ламана лінія є відрізком, який проходиться спершу в одному напрямку, а потім в протилежному) твердження є очевидним. Випадок є випадком трикутників, який доведений вище. Нехай тепер і припустимо за індукцією, що твердження доведено для всіх ламаних ліній для Тоді можна записати:
оскільки відрізок, що з'єднує точки і у двох інтегралах з правої сторони проходять у різних напрямках і відповідні значення інтегралів скорочуються, а всі інші відрізки у лівій і правій стороні є однаковими із врахуванням напрямку. Але згідно припущення індукції обидва інтеграли з правої сторони є рівними нулю, що й доводить твердження.
Якщо є відкритим кругом із центром у точці і радіусом і функція f є голоморфною в цьому крузі, то можна ввести функцію Із теореми Коші — Гурса для трикутників легко можна довести, що є первісною для тобто
Також із твердження теореми для ламаних ліній випливає, що для будь-яких точок і спрямлюваної кривої для якої виконується рівність .
Зокрема, якщо і є спрямлюваними кривими із однаковими початковими і кінцевими точками то:
Це твердження є варіантом загальної теореми Коші — Гурса для круга.
Теорема Коші — Гурса для гомотопних шляхів і контурів
[ред. | ред. код]
Нехай функція f є голоморфною у області U і і є гомотопними (із гомотопією, що фіксує кінцеві точки) і спрямлюваними у U. Тоді:
Нехай є гомотопією із у . Для будь-яких і точка належить . Із компактності випливає існування радіуса для якого для всіх і . Оскільки відображення є неперервним на компактній множині то воно є рівномірно неперервним. Зокрема існує для якого
для всіх і для яких і .
Нехай і є розбиттями відповідних відрізків для яких і для всіх і . Для кожного і позначимо замкнутий контур із точок
За побудовою довжина цього контура є меншою, ніж тож контур цілком міститься у крузі
Тому із попереднього
для всіх і . Просумувавши ці рівності для всіх і , враховуючи фіксацію кінцевих точок при гомотопії і здійснивши всі скорочення одержуємо, що
Далі можна записати рівність
для , де є обмеженням на і так само для . Дана рівність випливає із теореми Коші — Гурса для кругів, оскільки і відрізок, що сполучає точки і і крива за побудовою належать кругу
Разом із цього отримуємо
Із попереднього твердження випливає, зокрема, що якщо є стягуваним замкнутим спрямлюваним контуром у U то
Дане твердження є наслідком того факту, що гомотопія із замкнутого контура на точку може завжди бути вибрана так, що вказаною точкою є точка і гомотопія є гомотопією, що фіксує кінцеві точки, тобто і для всіх і всіх Тоді оскільки інтеграл по контуру виродженому у точку є рівним нулю, то і інтеграл по контуру кінцевими точками якого є і який є стягуваним до за допомогою гомотопії, що фіксує кінцеві точки є рівним нулю.
Більш загально, якщо є замкнутими спрямлюваними контурами, що є гомотопними, як замкнуті контури (тобто при гомотопії усі проміжні криві теж є замкнутими контурами), то також
Узагальнення для довільних неперервних шляхів
[ред. | ред. код]
Подані вище варіанти теореми дозволяють ввести поняття комплексного інтегралу для довільних неперервних шляхів (не обов'язково спрямлюваних). Для такого шляху із його компактності випливає існування такого розбиття , що всі відрізки виду належать . Тоді можна розглянути — ламану лінію із цих відрізків із необхідною параметризацією. Очевидно є спрямлюваною кривою.
Тоді можна взяти за означенням Із теореми Коші — Гурса випливає незалежність значення інтегралу від вибору ламаної лінії .
Якщо тепер і є гомотопними (із гомотопією, що фіксує кінцеві точки) і неперервними, то із таким означенням інтегралу:
Нехай є областю і є замкнутими контурами, що належать . Циклом називається формальна лінійна комбінація:
коефіцієнти якої є цілими числами. Множина усіх таких лінійних комбінацій для всіх можливих замкнутих контурів у із очевидною операцією додавання утворює абелеву групу.
На множині циклів можна ввести операцію інтегрування. А саме, якщо функція є визначена на всіх контурах , що входять у цикл то за означенням:
Для довільної точки що не лежить на контурі можна ввести індекс контуру відносно точки, як
Цей індекс завжди є цілим числом. Аналогічно як для інтеграла можна ввести індекс цикла відносно точки, що не належить жодному із контурів, що входять у цикл:
Нехай функція є голоморфною на області . Згідно гомологічного варіанту теореми Коші, якщо для деякого цикла і кожної точки що не належить виконується рівність то також
За допомогою теореми Коші доводиться справедливість інтегральної формули Коші та основної теореми про лишки.
- Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — Москва: Наука, 1969. — 577 с.