Функтор (математика)

Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании недостижимых кардиналов.

Впервые функторы начали рассматривать в алгебраической топологии, в которой топологическим пространствам сопоставляются алгебраические объекты (например, фундаментальная группа), а непрерывным отображениям — гомоморфизмы между этими объектами. Впоследствии функторы получили распространение во многих областях математики и используются для того, чтобы связывать между собой различные категории.

Термин «функтор» был позаимствован математиками из работ философа Рудольфа Карнапа, при этом у Карнапа слово «функтор» относилось к лингвистическому понятию.

Определение

Функтор $F$ должен сохранять композицию морфизмов $\tau$ и $\sigma$

(Ковариантный) функтор ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ из категории ${\mathcal {C}}$ в категорию ${\mathcal {D}}$ — это отображение, которое:

• сопоставляет каждому объекту $X\in {\mathcal {C}}$ объект ${\mathcal {F}}(X)\in {\mathcal {D}},$
• сопоставляет каждому морфизму $f:X\to Y$ в категории ${\mathcal {C}}$ морфизм ${\mathcal {F}}(f):{\mathcal {F}}(X)\to {\mathcal {F}}(Y)$ в категории ${\mathcal {D}}$. Это сопоставление должно обладать следующими свойствами:
  • ${\mathcal {F}}(\mathrm {id} _{A})=\mathrm {id} _{{\mathcal {F}}(A)}$,
  • ${\mathcal {F}}(g\circ f)={\mathcal {F}}(g)\circ {\mathcal {F}}(f)$.

Таким образом, функтор должен сохранять тождественные морфизмы и структуру композиции морфизмов.

Аналогичным образом, контравариантный функтор — это отображение, обращающее стрелки (то есть сопоставляющее морфизму $f:X\to Y$ морфизм ${\mathcal {F}}(f):{\mathcal {F}}(Y)\to {\mathcal {F}}(X)$), сохраняющее тождественные морфизмы и удовлетворяющее равенству:

${\mathcal {F}}(g\circ f)={\mathcal {F}}(f)\circ {\mathcal {F}}(g)$.

Также контравариантный функтор можно определить как ковариантный функтор из двойственной категории ${\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }$. Некоторые авторы предпочитают записывать все выражения ковариантно, и вместо слов «контравариантный функтор из ${\mathcal {C}}$ в ${\mathcal {D}}$» говорят «функтор из ${\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }$ в ${\mathcal {D}}$» (или, иногда, «функтор из ${\mathcal {C}}$ в ${\mathcal {D}}^{\mathrm {op} }$»).

Бифункторы и мультифункторы

Бифунктор — это функтор от двух аргументов. Естественный пример — функтор Hom, он ковариантен по одному аргументу и контравариантен по другому.

Формально бифункторы определяются как функторы из категории произведения. Например, функтор $\mathrm {Hom}$ имеет вид ${\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\times {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set}$.

Мультифунктор — это обобщение понятия бифунктора на $n$ переменных.

Примеры

Для задания функтора нужно определить действие его не только на объектах категории, но и (что более важно) на морфизмах: существуют различные функторы, действующие одинаково на объектах, например, тождественный функтор и антитождественный функтор, обращающий стрелки.

• Пусть ${\mathcal {C}}$ — подкатегория в категории ${\mathcal {D}}$. В таком случае определён функтор вложения $I:{\mathcal {C}}\hookrightarrow {\mathcal {D}}$, действующий на объектах и морфизмах как соответствующие вложения классов.
• Постоянный функтор: функтор, отображающий каждый объект категории ${\mathcal {C}}$ в фиксированный объект категории ${\mathcal {D}}$, а каждый морфизм ${\mathcal {C}}$ — в тождественный морфизм этого объекта.
• Эндофункторами называют любые функторы из категории в себя.
• Двойственное векторное пространство: отображение, сопоставляющее каждому векторному пространству двойственное к нему, а каждому линейному отображению — двойственное (или транспонированное) отображение, является контравариантным эндофунктором на категории векторных пространств.
• Пусть ${\mathcal {C}}$ — конкретная категория, то есть категория, снабженная унивалентным функтором в категорию множеств (частный случай забывающего функтора). С помощью этого функтора объектам категории сопосталяются множества, и можно думать о морфизмах, как о функциях на этих множествах, сохраняющих дополнительную структуру (пример: категории групп, категория колец, категория множеств). Левый сопряжённый (если он существует) к забывающему функтору есть функтор свободного объекта (пример: свободный модуль).
• Предпучки: пусть $X$ — топологическое пространство, тогда открытые подмножества $X$ образуют частично упорядоченное множество по отношению включения, обозначаемое $O(X)$. Как и любому частично упорядоченному множеству, $O(X)$ можно сопоставить категорию, добавляя единственный морфизм $U\to V$ тогда и только тогда, когда $U\subseteq V$. Контравариантные функторы из $O(X)$ называются предпучками. Например, существует функтор в категорию действительных алгебр, сопоставляющий открытому множеству алгебру вещественнозначных непрерывных функций на нём.
• Фундаментальная группа: каждому топологическому пространству $X$ с отмеченной точкой $x_{0}$ можно сопоставить фундаментальную группу $\pi _{1}(X,x_{0})$, элементы которой — классы эквивалентности петель с точностью до гомотопии. Если $f:X\to (Y)$ — морфизм пространств с отмеченной точкой (непрерывное отображение, переводящее отмеченную точку первого пространства в отмеченную точку второго), каждой петле из точки $x_{0}$ можно сопоставить её образ, являющийся петлёй из точки $y_{0}$. Это сопоставление согласуется с классами эквивалентности и с операцией композиции, следовательно, является гомоморфизмом из $\pi (X,x_{0})$ в $\pi (Y,y_{0})$. Нетрудно проверить, что выполняются и все остальные свойства ковариантного функтора из категории топологических пространств с отмеченной точкой в категорию групп.
• Касательное и кокасательное расслоение: отображение, сопоставляющее гладкому многообразию его касательное расслоение, а диффеоморфизму многообразий — его дифференциал, является ковариантным функтором из категории гладких многообразий и диффеоморфизмов в категорию векторных расслоений. Аналогично, кокасательное расслоение и кодифференциал диффеоморфизма задают контравариантный функтор.

  Рассмотрение касательного пространства в фиксированной точке задаёт ковариантный функтор из категории гладких многообразий с отмеченной точкой и гладких отображений в категорию векторных пространств.

• Тензорное произведение: если ${\mathcal {C}}$ — категория векторных пространств над фиксированным полем, тензорное произведение двух пространств задаёт функтор ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$, ковариантный по обоим аргументам.
• Симплициальные объекты — произвольные контравариантные функторы из симплициальной категории в различные категории (в категорию множеств — симплициальное множество, в категорию групп — симплициальная группа и другие); конструкции, обобщающие понятие симплициального комплекса, играют важную роль в алгебраической топологии.
• Функтор $\operatorname {Gal} :\mathbf {Fld} ^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Grp}$ сопоставляет полю $F$ его абсолютную группу Галуа $\operatorname {Gal} ({\bar {F}}/F)$, а гомоморфизму полей — соответствующий^{[прояснить]} гомоморфизм групп Галуа.

Свойства

• Функтор переводит коммутативные диаграммы в коммутативные диаграммы.
• Функтор переводит изоморфизмы в изоморфизмы.
• Композиция двух функторов тоже является функтором. Композиция функторов является ассоциативной операцией (там, где она определена), поэтому функторы между малыми категориями удовлетворяют всем свойствам морфизмов в категории.

Категория из одного объекта — то же самое, что моноид: морфизмы в ней соответствуют элементам моноида, а операция композиции морфизмов — операции, определённой в моноиде. Функторы между категориями с одним объектом взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам моноидов; следовательно, в некотором смысле функтор является обобщением понятия гомоморфизма моноидов на «моноиды, в которых операция композиции определена не всюду».

Связь с другими категорными понятиями

Пусть ${\mathcal {C}}$ и ${\mathcal {D}}$ — категории. Множество всех морфизмов ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ можно считать множеством объектов другой категории: категории функторов. Морфизмы в этой категории — естественные преобразования функторов.

Функторы довольно часто задают при помощи универсальных свойств, примеры включают в себя тензорные произведения, произведения групп, множеств или векторных пространств, прямые и обратные пределы. Также универсальные конструкции часто задают пару сопряжённых функторов.

Литература

• Букур И., Деляну А. . Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972. — 259 с.
• Маклейн С. . Глава 2. Конструкции в категориях // Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4. — С. 43—67.
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. . Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974. — 256 с.

Ссылки

• Marquis, Jean-Pierre. Category Theory (англ.). Stanford Encyclopedia of Philosophy. — Включает в себя очень полный список литературы. Дата обращения: 30 июля 2013. Архивировано 13 августа 2013 года.