케이시 정리

$t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0$

케이시 정리(Casey's theorem, -定理)는 기하학의 정리로, 아일랜드 수학자 존 케이시(John Casey)의 이름이 붙어 있다. 프톨레마이오스 정리를 일반화한 정리이다.

공식화

$\,O$ 을 원이라 하자. 또 $\,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}$ 을 $\,O$ 의 한 점에 접하는 네 개의 겹치지 않는 원이라 하자. 이제 $\,t_{ij}$ 을 두 원 $\,O_{i},O_{j}$ 의 공통 접선의 길이라 하면 다음 식이 성립하는데, 이것이 바로 케이시의 정리이다.

$\,t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.$

이상의 정리에서 안쪽 네 개 원의 반지름이 모두 0이라면 곧바로 이는 프톨레마이오스 정리가 된다. 이 정리의 역도 성립한다. 즉 이상의 식이 성립하면 각 원 $\,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}$ 은 큰 원과 한 점에서 접한다.

응용

이 정리는 포이어바흐의 정리를 증명하는 데 이용되는 등 유클리드 기하학의 다방면에 응용될 수 있다.

같이 보기

• 프톨레마이오스 정리
• 구점원

외부 링크

• 케이시의 정리 - 매스월드