Bra-ket-notation

Kvantmekanik

Teori: Vågfunktion Schrödingerekvationen Osäkerhetsprincipen Pauliprincipen Energinivå Partikel i låda Harmonisk oscillator Väteatomen Identiska partiklar Spinn Kvanttal Bra-ket-notation Störningsteori Variationsmetoden Tolkningar: Köpenhamnstolkningen Flervärldstolkningen Schrödingers katt EPR-paradoxen Bells teorem Persongalleri Einstein | Schrödinger Heisenberg | Dirac | Fermi Bohr | Planck | Born

Bra-ket-notation, eller Diracnotation, är en notation för att beskriva kvanttillstånd inom kvantmekaniken. Orden bra och ket kommer från bracket (klammer), $\langle \phi |\psi \rangle$ för att beteckna överlappet mellan två tillstånd, den vänstra delen, $\langle \phi |$, kallad bra, och den högra delen, $|\psi \rangle$, kallad ket.

Notationen introducerades av den brittiske fysikern Paul Dirac och är en utveckling av en notation för att beskriva inre produkter av vektorer (kvanttillstånd) i Hilbertrum.

Kvanttillstånd

Ett kvanttillstånd betecknas med bra-ket-notation som $|\psi \rangle$, där $\psi$ kan ses som namnet på tillståndet medan $|\cdot \rangle$ markerar att det är ett kvanttillstånd. En sådan beteckning kallas även ket. Olika tillstånd har olika namn, vanligtvis givna av grekiska bokstäver, till exempel $|\psi \rangle$ och $|\phi \rangle$. Varierande notation förekommer, i vissa sammanhang används till exempel stora grekiska bokstäver, $|\Psi \rangle$ och $|\Phi \rangle$, för flerpartikeltillstånd.

I många fall behövs en notation för en hel mängd av tillstånd. Tillstånden numreras då vanligtvis med något index, till exempel $n$, där $n$ antar ett antal olika värden, såsom de naturliga talen ($n=0,1,2,3,...$). Ett tillstånd betecknas då av $|\psi _{n}\rangle$ (eller enbart $|n\rangle$), medan mängden av alla tillstånd ges av exempelvis $\{|\psi _{n}\rangle \}$ eller $\{|\psi _{n}\rangle \}_{n=0}^{\infty }$.

I vissa fall, särskilt för sammansatta system eller system med olika frihetsgrader, används flera index, så kallade kvanttal, för att beskriva kvanttillståndet, exempelvis $|a,b,c\rangle$. Till exempel kan detta beskriva ett tillstånd för tre partiklar, där en befinner sig i tillstånd $|a\rangle$, en i $|b\rangle$ och en i $|c\rangle$. Det kan också beskriva en enda partikels tillstånd. Exempelvis ges tillståndet för en elektron i en atom av $|n,l,m_{l},m_{s}\rangle$, där $n$ är huvudkvanttalet, $l$ är bankvanttalet, $m_{l}$ är det magnetiska kvanttalet och $m_{s}$ är spinnprojektionskvanttalet.

Inre produkter

En inre produkt mellan två kvanttillstånd $|\psi \rangle$ och $|\phi \rangle$ betecknas med bra-ket-notation som $\langle \psi |\phi \rangle$. Tillståndet $\langle \psi |$ kallas bra och är ett tillstånd tillhörande dualrummet till det Hilbertrum ${\mathcal {H}}$ där ket-tillstånden $|\phi \rangle$ ingår. Bra-tillstånden $\langle \psi |$ är linjära funktionaler på ket-tillstånden $|\phi \rangle$. Speciellt gäller $\langle \phi |\phi \rangle =1$ om tillstånden är normaliserade.

Inre produkter är framför allt användbara för att uttrycka ett tillstånd $|\phi \rangle$ i en bas av ortonormala kvanttillstånd $\{|\psi _{n}\rangle \}$:

$|\phi \rangle =\sum _{n}\langle \psi _{n}|\phi \rangle |\psi _{n}\rangle$

Yttre produkter

En yttre produkt mellan två kvanttillstånd $|\psi \rangle$ och $|\phi \rangle$ betecknas med bra-ket-notation som $|\psi \rangle \langle \phi |$.

Tensorprodukter

En tensorprodukt mellan två kvanttillstånd $|\psi \rangle$ och $|\phi \rangle$ betecknas med bra-ket-notation som $|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle$ alternativt $|\psi \rangle |\phi \rangle$ eller enbart $|\psi ,\phi \rangle$.

Se även

• Kvanttal
• Kvanttillstånd

Källor

• Dirac, P. A. M. (1958) [1930]. The Principles of Quantum Mechanics (4th revised edition). Oxford University Press. ISBN 0-19-852011-5 
• Sakurai, J.J.; Jim Napolitano (2007). Modern Quantum Mechanics (andra upplagan). Pearson Education. ISBN 9780321503367 

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Bra-ket-notation.
  Bilder & media