Abelova grupa

V matematice značí Abelova grupa (někdy též abelovská grupa či komutativní grupa) grupu (G, ∗), ve které platí a ∗ b = b ∗ a pro všechna a a b z G. Abelovy grupy jsou pojmenovány po norském matematikovi Nielsi Henriku Abelovi.

Značení

Existují dvě hlavní konvence pro zápis abelových grup – aditivní a multiplikativní

Konvence	Operace	Identita	Mocniny	Inverze
Aditivní	a + b	0	na	−a
Multiplikativní	a ∗ b nebo ab	e nebo 1	aⁿ	a⁻¹

Je zvykem, ačkoliv ne pevným pravidlem, zapisovat Abelovy grupy v aditivní notaci. Naopak, pokud nějaká grupa není Abelova, téměř nikdy se její grupová operace nezapisuje v aditivní notaci.

Příklady

Každá cyklická grupa G je abelova, protože pokud x, y jsou z G, pak xy = a^maⁿ = a^{m + n} = a^{n + m} = aⁿa^m = yx.

Reálná čísla spolu se sčítáním jsou též abelovská grupa, stejně tak jako nenulová reálná čísla s násobením.

Každá konečná grupa prvočíselného řádu je Abelova, neboť je automaticky cyklická. Existuje i těžší tvrzení, podle nějž každá konečná grupa, jejíž řád je roven druhé mocnině prvočísla, je Abelova. Proto nejjednodušší příklad grupy, která není Abelova, musí mít minimálně 6 prvků. Takový jednoduchý příklad skutečně existuje, je jím grupa permutací tříprvkové množiny s operací „skládání permutací“.

Vlastnosti Abelových grup

Každá konečná Abelova grupa je direktním součtem cyklických grup o řádech rovných mocninám prvočísel. To je speciální případ obecnějšího tvrzení, podle nějž každá konečně generovaná Abelova grupa je direktním součtem konečných cyklických grup o řádech rovných mocninám prvočísel, a nekonečných cyklických grup.

Součinu konečných grup z výše zmíněné věty se rovněž říká torzní část Abelovy grupy, součinu nekonečných cyklických grup z výše zmíněné věty se říká beztorzní část Abelovy grupy. Je zřejmé, že beztorzní část konečné Abelovy grupy je triviální.

Každá podgrupa každé Abelovy grupy je Abelova a normální. Každá faktorgrupa každé Abelovy grupy je Abelova.

Každá Abelova grupa nese strukturu modulu nad oborem celých čísel a naopak, každý modul nad celými čísly je Abelovou grupou vůči své operaci sčítání (z definice). Pojmy Abelova grupa a modul nad celými čísly jsou ekvivalentní.

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu Abelova grupa na Wikimedia Commons