Linjäritet

Uppslagsordet ”Linjär” leder hit. Den här artikeln handlar om linjäritet inom matematik och vetenskap. För linjärer inom typografin se sans-serif och grotesk.

Linjäritet eller linearitet är en avledning av linjär eller lineär (av latinets linearis, av linea; 'tråd av linne') och avser något som kan beskrivas med en rät linje.

Linjäritet i matematiken

Inom matematiken är linjäritet ett samband mellan två variabler så att en ändring i den ena variabeln alltid leder till en proportionell ändring i den andra. Ett sådant samband kan uttryckas med räta linjens ekvation:

$y=kx+m\,$

Variabeln y förändras alltid i proportion till hur man förändrar x. Proportionalitetsfaktorn är k. I en graf bestämmer k linjens lutning. Parametern m anger värdet på y när x = 0. Genom att välja ett större eller mindre m-värde höjs eller sänks hela grafen utan att lutningen ändras. Om m = 0 går linjen genom origo (punkten 0, 0), och då sägs x och y vara direkt proportionella.

En linjär ekvation kan ha flera oberoende variabler, exempelvis för rummets tre dimensioner x, y och z:

$f(x,y,z)=k_{1}x+k_{2}y+k_{3}z+m\,$

Så länge man bara varierar en av dem, beter sig ekvationen precis som räta linjens ekvation med en oberoende variabel och bara ett k-värde. Även olika former av synkron variation av de tre oberoende variablerna får ekvationen att bete sig som räta linjens ekvation.

Rent formellt är dock en funktion f linjär om och endast om den uppfyller de två linjäritetsegenskaperna, vilka är:

homogenitet ($f(\alpha x)=\alpha f(x)$)

och

additivitet ($f(x+y)=f(x)+f(y)$)

Se även

• Linjär algebra
• Linjär avbildning
• Linjär ekvation
• Linjärt ekvationssystem
• Linjär funktion
• Linjärt rum