Mínim comú múltiple

El mínim comú múltiple (m.c.m.) de dos o més nombres enters positius és el menor nombre enter positiu que és múltiple de tots ells. Per exemple, si tenim el 72 i el 50 considerem els múltiples enters positius de cadascun:

múltiples de 72: 72, 144, 216, 288, ..., 432, 504, .....1800, ......

múltiples del 50: 50, 100, 150, ....., 1750,1800, ......

S'observa que el menor nombre enter el positiu que és múltiple dels dos és el 1800.

Tot seguit es mostren dos mètodes per al seu càlcul:

Mètode 1

El mètode general per calcular el mínim comú múltiple de dos o més nombres consisteix a descompondre els nombres en factors primers i després prendre els factors comuns i no comuns amb el major exponent amb què apareguin i els factors no comuns també amb el seu major exponent. Multiplicant tots aquest factors trobem el m.c.m.

Divisors de 72 i 50

Per exemple, m.c.m.= mínim comú múltiple de 72 i 50:

${\begin{array}{r|l}72&2\\36&2\\18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}}$ $72=2^{3}\cdot 3^{2}\,$

${\begin{array}{r|l}50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}}$ $50=2\cdot 5^{2}\,$

$m.c.m.(72,50)=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}=1800$

Mètode 2

També es pot calcular el mínim comú múltiple coneixent el màxim comú divisor dels nombres. Usem aquesta propietat:

${a\cdot b}=m.c.m.(a,b)\cdot {m.c.d.(a,b)}$

El producte de dos nombres és igual al producte del seu m.c.m. pel seu m.c.d.

Per tant, aïllem el mínim comú múltiple de la fórmula anterior i tenim:

$m.c.m.(a,b)={\frac {a\cdot b}{m.c.d.(a,b)}}$

El mínim comú múltiple de dos nombres és el producte dels dos nombres dividit entre el seu màxim comú divisor.

Exemple:

$m.c.m.(72,50)={\frac {72\cdot 50}{m.c.d.(72,50)}}={\frac {3600}{2}}=1800$

Propietats

Les propietats del m.c.m. són, en certa forma, duals de les del màxim comú divisor:

• El m.c.m. de diversos nombres és necessàriament més gran o igual que el més gran d'aquests.
• Si un nombre és múltiple d'un altre, el més gran és el m.c.m.
• El m.c.m. de dos nombres primers entre si és el resultat de multiplicar aquests nombres.
• Els múltiples comuns de dos o més nombres són múltiples del m.c.m. d'aquests nombres.
• El m.c.d. multiplicat pel m.c.m. de dos nombres dona com a resultat el producte dels dos nombres.

$m.c.d.(a,b)*m.c.m.(a,b)=a*b$

• Qualsevol múltiple comú a a i b és un múltiple de $m.c.m.(a,b)$.
• m.c.m.(a, b) = m.c.m.(|a|, |b|).
• m.c.m.(a, b) = m.c.m.(b, a).
• m.c.m.(a, 0) = 0.
• m.c.m.(a, a) = a.
• m.c.m.(a, m.c.m.(b, c)) = m.c.m.(m.c.m.(a, b), c), cosa que permet calcular el m.c.m de tres o més nombres.
• Si a i b són coprimers, aleshores $m.c.m.(a,b)=|ab|$

Usos

El m.c.m. s'empra per a sumar fraccions de distint denominador; només cal unificar cada fracció a un únic denominador, essent aquest denominador el m.c.m.; per exemple,

${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{33}}={\frac {11}{66}}+{\frac {2}{66}}={\frac {13}{66}}$

El m.c.m. als anells principals

Si A és un anell principal i I i J en són ideals, la ideal intersecció dels ideals I i J és l'ideal mínim comú múltiple dels ideals I i J. i també serveix per a restes.

Bibliografia

• Diccionari de Matemàtiques i Estadística. 2002. Ciència i Tecnologia. Enciclopèdia Catalana. Universitat Politècnica de Catalunya.

Vegeu també

• Factorització dels enters
• Màxim comú divisor
• Nombre primer