Nombres de Bernoulli
n | |
---|---|
0 | |
1 | |
2 | |
3 | 0 |
4 | |
5 | 0 |
6 | |
7 | 0 |
8 | |
9 | 0 |
10 | |
11 | 0 |
12 | |
13 | 0 |
14 | |
15 | 0 |
16 | |
17 | 0 |
18 | |
19 | 0 |
20 |
En matemàtiques, els Nombres de Bernoulli, denotats normalment per (o bé per diferenciar-los dels nombres de Bell), són una seqüència de nombres racionals amb connexions profundes amb la teoria de nombres. Els valors dels primers nombres de Bernoulli es mostren a la taula de la dreta.
Els nombres de Bernoulli apareixen a l'expansió en sèrie de Taylor de les funcions tangent i tangent hiperbòlica, en les fórmules per la suma de potències dels primers nombres naturals, a la fórmula d'Euler–Maclaurin i a l'expressió de certs valors de la funció zeta de Riemann.
Com que , se li dona el nom de segon nombre de Bernoulli. Com que per a tot senar , molts autors denoten aquesta sèrie amb .
Història
[modifica]Els nombres de Bernoulli van ser descoberts independentment i en la mateixa època pels matemàtics Jakob Bernoulli (suís), del qui prenen el nom, i Takakazu Seki (japonès). El descobriment de Seki va ser publicat de forma pòstuma el 1712 en la seva obra Katsuyo Sampo.[1] El descobriment de Bernoulli, també publicat pòstumament el 1713, en la seva obra Ars Conjecturandi.[2] El descobriment de Bernoulli és una generalització de la fórmula de Faulhaber (1631) per a la suma de les primeres 17 potències dels nombres naturals:[3]
i el 1755, Euler va demostrar les fórmules de Bernoulli, donant el nom de nombres de Bernoulli als coeficients obtinguts.[4]
Vegeu també
[modifica]Referències
[modifica]Bibliografia
[modifica]- Edwards, A.W.F. «Sums of Powers of Integers: A Little of the History» (en (anglès)). The Mathematical Gazette, Vol. 66, Num. 435, 1974, pàg. 22-28. ISSN: 0025-5572.
- Knuth, Donald E. «Johan Faulhaber and sums of powers» (en (anglès)). Mathematics of Computation, Vol. 61, Num. 203, 1993, pàg. 277-294. ISSN: 1088-6842.
- Shigeru, Hochi. «The Dawn of Wasan (Japanese Mathematics)». A: Selin, Helaine (ed.). Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics (en (anglès)). Dordrecht: Kluwer Academic, 2000. ISBN 1-4020-0260-2.
- Styan, George P.H.; Trenkler, Götz «A Philatelic Excursion with Jeff Hunter in Probability and Matrix Theory» (en (anglès)). Journal of Applied Mathematics and Decision Sciences, Vol. 2007, 2007, pàg. 1-10. Arxivat de l'original el 2014-07-28. DOI: 10.1155/2007/13749.