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Grupo fundamental

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(Redirecionado de Simplesmente conexo)
O grupo fundamental de um toro é gerado pelas duas curvas a e b.

O grupo fundamental é o primeiro dos grupos de homotopia. Este grupo mede a conectividade de um espaço topológico. Um espaço topológico com grupo fundamental trivial diz-se simplesmente conexo.

Seja um espaço topológico e um ponto. O grupo fundamental de baseado em , representado por é definido pelo conjunto das classes de homotopia dos lacetes centrados em onde impomos a operação de grupo induzida pela operação justaposição: se e são lacetes centrados em , e indica a classe de homotopia, então .

Toda curva de a define um homomorfismo de grupos entre e por . Este homomorfismo é inversível e logo, é um isomorfismo de grupos. Assim, quando é conexo por arcos, o ponto base não tem qualquer influência no grupo fundamental, ou seja, é isomorfo a , para quaisquer .

Aplicações contínuas e homomorfismos

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Se é uma aplicação contínua tal que , então ela induz um homomorfismo entre e dado por . Se esta aplicação for um homeomorfismo, então o homomorfismo de grupos induzido é um isomorfismo. Um fato importante é que .

Functorialidade

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Seja a categoria dos espaços topológicos com base em um ponto. Isto é, a categoria cujos objetos são duplas , onde o primeiro elemento é um espaço topológico e o segundo um ponto pertencente a ele, e os morfismos são aplicações contínuas tal que . Então pode ser visto como um functor entre e . Isso implica entre outras coisas que dois espaços topológicos conexos por caminhos com grupos fundamentais diferentes não podem ser homeomorfos.

Referências

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