Liste kleiner Gruppen

Die folgende Liste enthält eine Auswahl endlicher Gruppen kleiner Ordnung.

Diese Liste kann benutzt werden, um herauszufinden, zu welchen bekannten endlichen Gruppen eine Gruppe G isomorph ist. Als erstes bestimmt man die Ordnung von G und vergleicht sie mit den unten aufgelisteten Gruppen gleicher Ordnung. Ist bekannt, ob G abelsch (kommutativ) ist, so kann man einige Gruppen ausschließen. Anschließend vergleicht man die Ordnung einzelner Elemente von G mit den Elementen der aufgelisteten Gruppen, wodurch man G bis auf Isomorphie eindeutig bestimmen kann.

Glossar

• $\mathbb {Z} _{n}$: ist die zyklische Gruppe der Ordnung n (die meist als $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ geschrieben wird).
• $D_{n}$: ist die Diedergruppe der Ordnung 2n
• $S_{n}$: ist die symmetrische Gruppe vom Grad n, mit n! Permutationen von n Elementen.
• $A_{n}$: ist die alternierende Gruppe vom Grad n, mit n!/2 Permutationen von n Elementen.
• $Dic_{n}$: ist die dizyklische Gruppe der Ordnung 4n.

Die Notation $G\times H$ wird benutzt, um das direkte Produkt von Gruppen zu bezeichnen. Es wird angemerkt, ob eine Gruppe abelsch oder einfach ist. (Für Gruppen der Ordnung n < 60 sind die einfachen Gruppen genau die zyklischen Gruppen $\mathbb {Z} _{n}$, mit n aus der Menge der Primzahlen.) In den Zykel-Graphen der Gruppen wird das neutrale Element durch einen ausgefüllten schwarzen Kreis dargestellt. Ordnung 16 ist die kleinste Ordnung, für welche die Gruppenstruktur durch den Zykel-Graphen nicht eindeutig bestimmt ist: Die spezielle projektive lineare Gruppe und $\mathbb {Z} _{8}\times \mathbb {Z} _{2}$ haben den gleichen Zykel-Graphen, sind aber nicht isomorph.

In der Liste der Untergruppen werden die trivialen Untergruppen (die einelementige Gruppe und die Gruppe selbst) nicht aufgelistet.

Liste nicht abelscher Gruppen bis Ordnung 16

Es ist zu beachten, dass $3\cdot \mathbb {Z} _{2}$ bedeutet, dass es 3 Untergruppen vom Typ $\mathbb {Z} _{2}$ gibt (nicht die Nebenklasse von $\mathbb {Z} _{2}$), während ansonsten mit $\times$das direkte Produkt gemeint ist.

Ordnung	Gruppe	Untergruppen	Eigenschaften	Graph
6	$S_{3}\cong D_{3}$ (Diedergruppe)	$\mathbb {Z} _{3}$ , $3\cdot \mathbb {Z} _{2}$	kleinste nicht abelsche Gruppe
8	$D_{4}$ (Diedergruppe)	$\mathbb {Z} _{4}$, $2\cdot D_{2}$ , $5\cdot \mathbb {Z} _{2}$	nicht abelsch
	Quaternionengruppe, $Q_{8}\cong Dic_{2}$	$3\cdot \mathbb {Z} _{4}$ , $\mathbb {Z} _{2}$	nicht abelsch; kleinste Hamiltonsche Gruppe
10	$D_{5}$	$\mathbb {Z} _{5}$ , $5\cdot \mathbb {Z} _{2}$	nicht abelsch
12	$D_{6}\cong D_{3}\times \mathbb {Z} _{2}$	$Z_{6}$ , $2\cdot D_{3}$ , $3\cdot D_{2}$ , $\mathbb {Z} _{3}$ , $7\cdot Z_{2}$	nicht abelsch
	$A_{4}$	$\mathbb {Z} _{2}^{2}$, $4\cdot \mathbb {Z} _{3}$, $3\cdot \mathbb {Z} _{2}$	nicht abelsch; kleinste Gruppe die zeigt das die Umkehrung des Satz von Lagrange nicht stimmt: keine Untergruppe der Ordnung 6
	$Dic_{3}\cong$ zu dem semidirekten Produkt von $\mathbb {Z} _{3}$ und $\mathbb {Z} _{4}$	$Z_{2}$, $\mathbb {Z} _{3}$, $3\cdot \mathbb {Z} _{4}$, $\mathbb {Z} _{6}$	nicht abelsch
14	$D_{7}$	$\mathbb {Z} _{7}$ , $7\cdot \mathbb {Z} _{2}$	nicht abelsch
16	$D_{8}$	$\mathbb {Z} _{8}$ , $2\cdot D_{4}$ , $4\cdot D_{2}$ , $\mathbb {Z} _{4}$ , $9\cdot \mathbb {Z} _{2}$	nicht abelsch
	$D_{4}\times \mathbb {Z} _{2}$	$2\cdot D_{4}$ , $\mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}$ , $2\cdot \mathbb {Z} _{2}^{3}$, $7\cdot \mathbb {Z} _{2}^{2}$ ,$2\cdot \mathbb {Z} _{4}$ , $11\cdot \mathbb {Z} _{2}$	nicht abelsch
	Verallgemeinerte Quaternionengruppe, $Q_{16}\cong Dic_{4}$		nicht abelsch
	$Q_{8}\times \mathbb {Z} _{2}$		nicht abelsch, Hamiltonsche Gruppe
	Quasi-Diedergruppe		nicht abelsch
	projektive spezielle lineare Gruppe		nicht abelsch	Datei:GroupDiagramMiniMOD16.png
	Das semidirekte Produkt von $\mathbb {Z} _{4}$ und $\mathbb {Z} _{4}$		nicht abelsch
	Die durch Pauli-Matrizen erzeugte Gruppe.		nicht abelsch	Datei:GroupDiagramMiniPauli.png
	$G_{4,4}$		nicht abelsch

Liste aller Gruppen bis Ordnung 16

Ordnung	Gruppe	Untergruppen	Eigenschaften	Graph
1	triviale Gruppe $\cong \mathbb {Z} _{1}\cong S_{1}\cong A_{2}$	-	abelsch
2	$\mathbb {Z} _{2}\cong S_{2}\cong D_{1}$	-	abelsch, kleinste nicht triviale Gruppe
3	$\mathbb {Z} _{3}\cong A_{3}$	-	abelsch, einfach
4	$\mathbb {Z} _{4}$	$\mathbb {Z} _{2}$	abelsch
	Kleinsche Vierergruppe $\cong \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}\cong D_{2}$	$3\cdot \mathbb {Z} _{2}$	abelsch, die kleinste nicht zyklische Gruppe
5	$Z_{5}$	-	abelsch, einfach
6	$\mathbb {Z} _{6}\cong \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3}$	$\mathbb {Z} _{2}$, $\mathbb {Z} _{3}$	abelsch
	$S_{3}\cong D_{3}$ (Diedergruppe)	$\mathbb {Z} _{3}$ , $3\cdot \mathbb {Z} _{2}$	kleinste nicht abelsche Gruppe
7	$Z_{7}$	-	abelsch, einfach
8	$\mathbb {Z} _{8}$	$\mathbb {Z} _{4}$ , $Z_{2}$	abelsch
	$\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}$	$2\cdot \mathbb {Z} _{4}$ , $3\cdot \mathbb {Z} _{2}$ , $D_{2}$	abelsch
	$Z_{2}\times \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}\cong D_{2}\times \mathbb {Z} _{2}$	$7\cdot \mathbb {Z} _{2}\times Z_{2}$ , $7\cdot \mathbb {Z} _{2}$	abelsch
	$D_{4}$ (Diedergruppe)	$\mathbb {Z} _{4}$, $2\cdot D_{2}$ , $5\cdot \mathbb {Z} _{2}$	nicht abelsch
	Quaternionengruppe, $Q_{8}\cong Dic_{2}$	$3\cdot \mathbb {Z} _{4}$, $\mathbb {Z} _{2}$	nicht abelsch; die kleinste Hamiltonsche Gruppe
9	$\mathbb {Z} _{9}$	$\mathbb {Z} _{3}$	abelsch
	$\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{3}$	$4\cdot Z_{3}$	abelsch
10	$\mathbb {Z} _{10}\cong \mathbb {Z} _{2}\times Z_{5}$	$Z_{5}$,$\mathbb {Z} _{2}$	abelsch
	$D_{5}$	$\mathbb {Z} _{5}$ , $5\cdot \mathbb {Z} _{2}$	nicht abelsch
11	$\mathbb {Z} _{11}$	-	abelsch, einfach
12	$\mathbb {Z} _{12}\cong \mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{3}$	$\mathbb {Z} _{6}$ , $\mathbb {Z} _{4}$ , $\mathbb {Z} _{3}$ , $\mathbb {Z} _{2}$	abelsch
	$Z_{2}\times \mathbb {Z} _{6}\cong \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3}$ $\cong D_{2}\times \mathbb {Z} _{3}$	$3\cdot \mathbb {Z} _{6}$, $\mathbb {Z} _{3}$, $D_{2}$, $3\cdot \mathbb {Z} _{2}$	abelsch
	$D_{6}\cong D_{3}\times \mathbb {Z} _{2}$	$\mathbb {Z} _{6}$ , $2\cdot D_{3}$ , $3\cdot D_{2}$, $\mathbb {Z} _{3}$, $7\cdot \mathbb {Z} _{2}$	nicht abelsch
	$A_{4}$	$\mathbb {Z} _{2}^{2}$, $4\cdot \mathbb {Z} _{3}$, $3\cdot \mathbb {Z} _{2}$	nicht abelsch; kleinste Gruppe die zeigt das die Umkehrung des Satz von Lagrange nicht stimmt: keine Untergruppe der Ordnung 6
	$Dic_{3}\cong$ zu dem semidirekte Produkt von $\mathbb {Z} _{3}$ und $\mathbb {Z} _{4}$	$\mathbb {Z} _{2}$, $\mathbb {Z} _{3}$, $3\cdot \mathbb {Z} _{4}$, $\mathbb {Z} _{6}$	nicht abelsch
13	$\mathbb {Z} _{13}$	-	abelsch, einfach
14	$\mathbb {Z} _{14}\cong \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{7}$	$\mathbb {Z} _{7}$ ,$\mathbb {Z} _{2}$	abelsch
	$D_{7}$	$\mathbb {Z} _{7}$ ,$7\cdot \mathbb {Z} _{2}$	nicht abelsch
15	$\mathbb {Z} _{15}\cong \mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{5}$	$\mathbb {Z} _{5}$ , $\mathbb {Z} _{3}$	abelsch
16	$\mathbb {Z} _{16}$	$\mathbb {Z} _{8}$ , $\mathbb {Z} _{4}$ , $\mathbb {Z} _{2}$	abelsch
	$\mathbb {Z} _{2}^{4}$	$15\cdot \mathbb {Z} _{2}$, $35\cdot D_{2}$, $15\cdot \mathbb {Z} _{2}^{3}$	abelsch
	$Z_{4}\times \mathbb {Z} _{2}^{2}$	$7\cdot \mathbb {Z} _{2}$, $4\cdot \mathbb {Z} _{4}$, $7\cdot D_{2}$, $\mathbb {Z} _{2}^{3}$, $6\cdot \mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}$	abelsch
	$\mathbb {Z} _{8}\times \mathbb {Z} _{2}$	$3\cdot \mathbb {Z} _{2}$, $2\cdot \mathbb {Z} _{4}$, $D_{2}$, $2\cdot \mathbb {Z} _{8}$, $Z_{4}\times \mathbb {Z} _{2}$	abelsch
	$Z_{4}^{2}$	$3\cdot \mathbb {Z} _{2}$, $6\cdot \mathbb {Z} _{4}$,$D_{2}$,$3\cdot \mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}$	abelsch
	$D_{8}$	$\mathbb {Z} _{8}$,$2\cdot D_{4}$, $4\cdot D_{2}$, $\mathbb {Z} _{4}$, $9\cdot \mathbb {Z} _{2}$	nicht abelsch
	$D_{4}\times \mathbb {Z} _{2}$	$2\cdot D_{4}$ , $\mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}$ , $2\cdot \mathbb {Z} _{2}^{3}$, $7\cdot \mathbb {Z} _{2}^{2}$ , $2\cdot \mathbb {Z} _{4}$ , $11\cdot \mathbb {Z} _{2}$	nicht abelsch
	Verallgemeinerte Quaternionengruppe, $Q_{16}\cong Dic_{4}$	$\mathbb {Z} _{8}$ , $2\cdot Q_{8}$ , $5\cdot \mathbb {Z} _{4}$ , $\mathbb {Z} _{2}$	nicht abelsch
	$Q_{8}\times \mathbb {Z} _{2}$	$3\cdot \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}$ , $4\cdot Q_{8}$ , $6\cdot \mathbb {Z} _{4}$ , $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ , $3\cdot \mathbb {Z} _{2}$	nicht abelsch, Hamiltonsche Gruppe
	Quasi-Diedergruppe	$2\cdot \mathbb {Z} _{8}$ , $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}$ , $2\cdot \mathbb {Z} _{4}$ , $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ , $3\cdot \mathbb {Z} _{2}$	nicht abelsch
	projektive spezielle lineare Gruppe	$3\cdot \mathbb {Z} _{2}$, $2\cdot \mathbb {Z} _{4}$, $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$, $2\cdot \mathbb {Z} _{8}$, $\mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}$	nicht abelsch	Datei:GroupDiagramMiniMOD16.png
	Das semidirekte Produkt von $\mathbb {Z} _{4}$ und $\mathbb {Z} _{4}$	$3\cdot \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}$ , $6\cdot \mathbb {Z} _{4}$ , $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ , $3\cdot \mathbb {Z} _{2}$	nicht abelsch
	Die durch Pauli-Matrizen erzeugte Gruppe.	$3\cdot \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}$ , $3\cdot D_{4}$ , $Q_{8}$ , $4\mathbb {Z} _{4}$ , $3\cdot \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ , $7\cdot \mathbb {Z} _{2}$	nicht abelsch	Datei:GroupDiagramMiniPauli.png
	$G_{4,4}$	$2\cdot \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}$ , $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ , $4\cdot \mathbb {Z} _{4}$ , $7\cdot \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}$ , $7\cdot \mathbb {Z} _{2}$	nicht abelsch

„Small groups library“

Das Computer-Algebra-System GAP enthält die Programm-Bibliothek Small Groups library, welche eine Beschreibung von Gruppen kleiner Ordnung enthält. Diese sind alle bis auf Isomorphie aufgelistet. Momentan enthält die Bibliothek Gruppen folgender Ordnung:

• alle der Ordnung höchstens 2000, außer die der Ordnung 1024 (insgesamt 423 164 062 Gruppen);
• alle der Ordnung 5⁵ and 7⁴ (92 Gruppen);
• alle der Ordnung qⁿ×p mit qⁿ teilt 2⁸, 3⁶, 5⁵ oder 7⁴ und p ist eine beliebige von q verschiedene Primzahl;
• alle Gruppen, deren Ordnung n in mindestens drei Primzahlen zerlegbar ist.

Diese Bibliothek wurde von Hans Ulrich Besche, Bettina Eick und Eamonn O'Brien von der TU Braunschweig erstellt.

Siehe auch

• Gruppentheorie
• endliche Gruppe
• Endliche einfache Gruppen und ihre Klassifikation
• en:Cycle graph (algebra) englischer Artikel, der die Gruppen-Graphen erläutert

Weblinks

• Thomas Klein: „Endliche Gruppen“ (PS, dt.), siehe §15 Klassifikation der Gruppen bis Ordnung 23
• John Pedersen: Groups of small order (engl.)
• Marcel Wild: Groups of Order Sixteen Made Easy (PDF, engl.)