Malplena aro

En matematiko, kaj pli specife en aroteorio, malplena aro aŭ nenioma aro estas la unika aro, kiu ne enhavas elementojn. En aksioma aroteorio ĝia ekzisto estas postulata per la aksiomo de malplena aro kaj ĉiuj finiaj aroj estas konstrueblaj pere de ĝi. La malplena aro estas fojfoje nomata nula aro, sed ĉar nula aro signifas ion alian en teorio de mezuro, uzo de ĉi tiu termino por malplena aro estas ĝenerale evitinda.

Diversaj ĝeneralaj ecoj de aroj estas triviale veraj por la malplena aro.

Notacio

La norma notacio por malplena aro estas la simbolo $\varnothing$ aŭ ∅. Oni ne konfuzu tiun ĉi signon kun la skandinava vokalo Øø kaj la greka litero Φ.

Por kompari, vidu la tri signojn kune: ∅ Øø Φ – la signo de malplena aro estas bazita sur geometria cirklo, sed la skandinava litero similas al ovalo kiel litero 'O'.

La signo de malplena aro "∅" havas unikodan kodon U+2205. Komuna TeX-a pakaĵo uzas por ĝi skribojn \emptyset kaj \varnothing, kiuj respektive aperas kiel:

$\emptyset ,\varnothing$

Alia komuna notacio por la malplena aro estas {}.

Ecoj

• Por ĉiu aro A, la malplena aro estas subaro de A:
• : ∀A: $\varnothing$ ⊆ A
• Por ĉiu aro A, la kunaĵo de A kun la malplena aro estas A:
• : ∀A: A ∪ $\varnothing$ = A
• Por ĉiu aro A, la komunaĵo de A kun la malplena aro estas la malplena aro:
• : ∀A: A ∩ $\varnothing$ = $\varnothing$
• Por ĉiu aro A, la kartezia produto de A kaj la malplena aro estas malplena:
• : ∀A: A × $\varnothing$ = $\varnothing$
• La sola subaro de la malplena aro estas la malplena aro:
• : ∀A: A ⊆ $\varnothing$ ⇒ A = $\varnothing$
• La nombro de eroj de la malplena aro (tio estas ĝia kardinalo) estas nulo; kaj malplena aro estas finia:
• : |$\varnothing$| = 0
• Por ĉiu propraĵo:
  • por ĉiu ero de $\varnothing$ la propraĵo estas vera
  • forestas ero de $\varnothing$ por kiu la propraĵo estas vera
• Male: se, por iu propraĵo, jenaj du propozicioj estas veraj samtempe:
  • por ĉiu ero de V la propraĵo veras
  • forestas ero de V por kiu la propraĵo veras

tiam V = $\varnothing$

Rolo de malplena aro en matematiko

Eblas diri, ke per la malplena aro komenciĝas la matematiko, ĉar oni povas uzi ĝin por ekkrei la entjerojn; el la entjeroj eblas konstrui aliajn nombrojn ktp.

Laŭ John von Neumann, oni povas procedi jene:

• kiun kvanton da elementoj kunmetas la malplena aro {}? Nul (0).
• kiun kvanton da elementoj kunmetas la aro {0} ? Unu (1).
• kiun kvanton da elementoj kunmetas la aro {0,1} ? Du. Ktp.

Tiel oni povas difini ĉiujn entjerojn, uzante nur unu aĵon.

Matematikistoj kutime parolas pri "la malplena aro", ĉar laŭ aroteorio du aroj estas samaj, se ili havas la samajn erojn; pro tio povas esti nur unu senelementa aro.

Vidu ankaŭ

• Unuera aro (matematiko)
• Duera aro